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Sagot :
Bonjour
Sosoma1234,
Soit a, b ≥ 0
Alors nous avons :
[tex](a-b)^2\ge0\\\\a^2-2ab+b^2\ge0\\\\a^2-2ab+b^2+4ab\ge0+4ab\\\\a^2+2ab+b^2\ge4ab\\\\(a+b)^2\ge4ab\\\\\sqrt{(a+b)^2}\ge\sqrt{4ab}\\\\\boxed{a+b\ge2\sqrt{ab}}\ \ \ (car\ a\ et\ b\ge0)[/tex]
Nous montrerions de même que [tex]\boxed{b+c\ge2\sqrt{bc}}\ \ \ et\ \ \ \boxed{c+a\ge2\sqrt{ac}}[/tex]
Par conséquent,
[tex](a+b)(b+c)(c+a)\ge2\sqrt{ab}\times2\sqrt{bc}\times2\sqrt{ac}\\\\(a+b)(b+c)(c+a)\ge2\times2\times2\times\sqrt{abbcac}\\\\(a+b)(b+c)(c+a)\ge8\times\sqrt{a^2b^2c^2}\\\\\boxed{(a+b)(b+c)(c+a)\ge8abc}\ \ \ (car\ \ a, b,c\ge0)[/tex]
Soit a, b ≥ 0
Alors nous avons :
[tex](a-b)^2\ge0\\\\a^2-2ab+b^2\ge0\\\\a^2-2ab+b^2+4ab\ge0+4ab\\\\a^2+2ab+b^2\ge4ab\\\\(a+b)^2\ge4ab\\\\\sqrt{(a+b)^2}\ge\sqrt{4ab}\\\\\boxed{a+b\ge2\sqrt{ab}}\ \ \ (car\ a\ et\ b\ge0)[/tex]
Nous montrerions de même que [tex]\boxed{b+c\ge2\sqrt{bc}}\ \ \ et\ \ \ \boxed{c+a\ge2\sqrt{ac}}[/tex]
Par conséquent,
[tex](a+b)(b+c)(c+a)\ge2\sqrt{ab}\times2\sqrt{bc}\times2\sqrt{ac}\\\\(a+b)(b+c)(c+a)\ge2\times2\times2\times\sqrt{abbcac}\\\\(a+b)(b+c)(c+a)\ge8\times\sqrt{a^2b^2c^2}\\\\\boxed{(a+b)(b+c)(c+a)\ge8abc}\ \ \ (car\ \ a, b,c\ge0)[/tex]
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