Bonsoir,
1) a(1)=(1/4)(a(0)+3b(0)=1/4(2+3*4)=7/2
b(1)=(1/4)(3a(0)+b(0))=(1/4)(3*2+4)=5/2
a(2)=(1/4)(a(1)+3b(1))=(1/4)(7/2+3*5/2)=11/4
b(2)=(1/4)(3a(1)+b(1)=(1/4)(3*7/2+5/2)=13/4
2)a) Si tu veux démontrer qu'une suite est constante, il te faut démontrer que U(n+1)-U(n)=0:
U(n+1)-U(n)=a(n+1)+b(n+1)-(a(n)+b(n))
U(n+1)-U(n)=(1/4)(a(n)+3b(n))+(1/4)(3a(n)+b(n))-a(n)-b(n)
U(n+1)-U(n)=a(n)/4+(3/4)b(n)+3a(n)/4+b(n)/4-a(n)-b(n)
U(n+1)-U(n)=a(n)+b(n)-a(n)-b(n)
U(n+1)-U(n)=0----> CQFD la suite U(n) est donc bien constante
b) U(0)=a(0)+b(0)=2+4=6
3)a) Pour démontrer qu'une suite est géométrique, il faut que tu démontres que V(n+1)/V(n)=constante=q où q est la raison d'où:
V(n+1)/V(n)=(a(n+1)-b(n+1))/(a(n)-b(n))
V(n+1)/V(n)=((1/4)(a(n)+3b(n))-(1/4)(3a(n)+b(n))/(a(n)-b(n))
V(n+1)/V(n)=(a(n)/4+3b(n)/4-3a(n)/4-(1/4)b(n))/(a(n)-b(n))
V(n+1)/V(n)=(-a(n)/2+b(n)/2)/(a(n)-b(n))
V(n+1)/V(n)=(-1/2)(a(n)-b(n)/(a(n)-b(n))
V(n+1)/V(n)=(-1/2)
En conclusion, V(n) est bien une suite géométrique de raison (-1/2) et de 1er terme v(0)=a(0)-b(0)=2-4=-2
b) Je te rappelle qu'une suite géométrique est de la forme:
V(n)=V(0)*q^n
Avec V(0)=-2 et q=-1/2 donc v(n) a pour expression:
V(n)=(-2)(-1/2)^n
4) D'après 3, on sait que:
V(n)=a(n)-b(n)
a(n)=V(n)+b(n)
d'après U(n)=a(n)+b(n) donc b(n)=U(n)-a(n) d'où:
a(n)=V(n)+U(n)-a(n)
2a(n)=V(n)+U(n)
2a(n)=V(n)+6 car U(n)=constante=U(0)=6
a(n)=(1/2)(-2)(-1/2)^n+6/2
a(n)=3-(-1/2)^n-----> CQFD
On va raisonner de la même manière pour b(n)
V(n)=a(n)-b(n)
b(n)=a(n)-V(n)
comme U(n)=a(n)+b(n) donc U(n)-b(n)=a(n) donc
b(n)=U(n)-b(n)-V(n)
2b(n)=U(n)-V(n)
comme U(n)=cst=U(0)=6 donc
2b(n)=6-V(n)
2b(n)=6-(-2)(-1/2)^n
b(n)=3+(-1/2)^n------> CQFD
Voilà, c'est terminé, ne te contente pas de recopier mais essaie de bien comprendre la démarche pour la renouveler pour un autre exercice.
