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Bonjour , je voudrais avoir de l'aide pour cet exercice en maths a partir de la 1 d. svp: j'ai deja fait quelques questions

Un élève se rend à vélo au lycée distant de 3km de son domicile à une vitesse supposée constante de 15 km/h. Sur le parcours, il rencontre 6 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu'il soit au vert est 2/3 et celle qu'il soit au rouge ou à l'orange est 1/3. Un feu rouge ou orange lui fait perdre une minute et demie. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l'élève sur son parcours et T la variable aléatoire donnant le temps en minutes mis par l'élève pour se rendre au lycée.

1.a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b.Quelle est la probabilité que l'élève rencontre exactement 2 feux verts?
c.Quelle est la probabilité que l'élève rencontre au moins 1 feu vert?
d. Déterminer E(X) et interpréter ce résultat.

2.a. Exprimer T en fonction de X et déterminer sa loi
b.Déterminer E(T) et interpréter ce résultat.

3. L'élève part 17 minutes avant le début des cours.

a. Peut-il espérer être à l'heure ?

b. Calculer la probabilité qu'il arrive en retard.

merci d'avance
svppp


Sagot :

bonsoir

le feu est vert , la proba = 2/3  le paramètre est favorable 
le feu est rouge ou orange, proba = 1/3  le paramètre est défavorable 

les feux ne sont pas synchronisés donc on a 6 répétitions de paramètre p = 2/3

X est la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts donc X compte le nombre de paramètres favorables

X suit une loi binomiale de paramètre n = 6 et  p = 2/3 

si le feu est vert, = pas d'attente mais s'il est orange ou rouge il y a 1.5 min d'attente
X est le nombre de feux verts donc  6 - X est le nombre de feux rouges ou oranges

le lycée se trouve à 3 km 

si l'élève ne rencontre que des feux verts, le temps de parcours sera de

v = d /t  ⇔ t = d/v = 3/15 h = 3 x 60/15 = 12 minutes 

T = 12 + 1.5 x ( 6 - X) = 12 + 9 - 1.5 X = 21 - 1.5 X 

E(T) = E ( 21 - 1.5 x X) = 21 - 1.5 x E (X) 
= 21 - 1.5 x np = 21 - 1.5 x 6 x 2/3 = 15

sur un grand nombre de trajets, le temps moyen de parcours est de 15 min 

il part 17 min avant les cours ⇒ il peut donc espérer arriver à l'heure car le temps moyen est < 17 min 

P ( T >17) = P (21 - 1.5 X > 17) = P ( - 1.5 X > - 4 
= P ( X < -  4/-1.5) = P (X < 8/3)
= P ( X ≤ 2) = P ( X = 0 ) + P (X = 1) + P(X = 2)
= 1.37 x 10 ⁻³ + 0.016 + 0.082 ≈ 0.100 

la proba qu'il soit en retard est d'environ 0.1