Sagot :
Bonsoir Carolinaaaaa
Exercice 18
[tex]1)\ 6!=1\times2\times3\times4\times5\times6=720[/tex]
2) Récurrence.
a) Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour le plus petit entier n, soit montrons que [tex]3^7\le7![/tex]
En effet : [tex]3^7=2187\ \ et\ \ 7!=5040[/tex]
Puisque 2187 < 5040, nous avons démontré que [tex]3^7\le7![/tex]
b) Hérédité.
Supposons que pour un nombre naturel n ≥ 7, nous avons [tex]3^n\le n! [/tex]
Démontrons que [tex]3^{n+1}\le(n+1)![/tex]
En effet,
[tex]3^{n+1}=3\times3^n\le3\times n!\ \ (par\ hypoth\grave{e}se)\\\\3^{n+1}\le3\times n!\le8\times n!\ \ (car\ 3\ \textless \ 8)\\\\3^{n+1}\le8\times n!\le(n+1)\times n!\ \ (car\ n\ge7\Longrightarrow n+1\ge8)\\\\3^{n+1}\le(n+1)\times n!\\\\\Longrightarrow\boxed{3^{n+1}\le(n+1)!}\ \ car\ (n+1)\times n!=(n+1)![/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, la propriété [tex]3^n\le n! [/tex] est donc démontrée pour tout n ≥ 7.
3) Récurrence.
a) Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour le plus petit entier n, soit montrons que [tex]1!\le1^1[/tex]
En effet, [tex]1!=1\ \ et\ \ 1^1=1\Longrightarrow\boxed{1!\le1^1}[/tex]
b) Hérédité : Supposons que pour un nombre naturel n ≥ 1, nous avons [tex]n!\le n^n[/tex]
Montrons que [tex](n+1)!\le (n+1)^{n+1}[/tex]
En effet,
[tex](n+1)!=(n+1)\times n!\le(n+1)\times n^n\ \ (par\ hyp.)\\\\(n+1)!\le(n+1)\times n^n\le(n+1)\times(n+1)^n\ \ (car\ n\le n+1)\\\\(n+1)!\le(n+1)\times(n+1)^n\\\\\Longrightarrow\boxed{(n+1)!\le(n+1)^{n+1}}\ \ car\ \ (n+1)\times(n+1)^n=(n+1)^{n+1}[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, la propriété [tex]n!\le n^n[/tex] est donc démontrée pour tout n ≥ 1.
Exercice 24
[tex]1)\ 4!=\boxed{24}\\\\1\times1!+2\times2!+3\times3!=1+4+18=\boxed{23}\\\\\\2)\ 5!=\boxed{120}\\\\1\times1!+2\times2!+3\times3!+4\times4!=1+4+18+96=\boxed{119}[/tex]
3) Nous pouvons donc conjecturer que pour tout n ≥ 2, [tex]\boxed{\sum\limits_{k=1}^{n-1}k.k!=n!-1}[/tex]
4) Par récurrence.
a) Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour le plus petit entier n, soit montrons que [tex]\sum\limits_{k=1}^{2-1}k.k!=2!-1[/tex]
En effet,
[tex]\sum\limits_{k=1}^{2-1}k.k!=\sum\limits_{k=1}^{1}k.k!=1\times1!=1\times1=\boxed{1}\\\\et\\\\2!-1=2-1=\boxed{1}[/tex]
b) Hérédité.
Supposons que pour un nombre fixé n ≥ 2, nous avons [tex]\sum\limits_{k=1}^{n-1}k.k!=n!-1[/tex]
Montrons que [tex]\sum\limits_{k=1}^{n}k.k!=(n+1)!-1[/tex]
En effet,
[tex]\sum\limits_{k=1}^{n}k.k!=\sum\limits_{k=1}^{n-1}k.k!+n\times n!=(n!-1)+n\times n!=n!+n\times n!-1\\\\\\=1\times n!+n\times n!-1=(1+n)\times n!-1=(n+1)!-1\\\\\Longrightarrow\boxed{\sum\limits_{k=1}^{n}k.k!=(n+1)!-1}[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, la propriété [tex]\sum\limits_{k=1}^{n-1}k.k!=n!-1[/tex] est donc démontrée pour tout n ≥ 2.
Exercice 18
[tex]1)\ 6!=1\times2\times3\times4\times5\times6=720[/tex]
2) Récurrence.
a) Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour le plus petit entier n, soit montrons que [tex]3^7\le7![/tex]
En effet : [tex]3^7=2187\ \ et\ \ 7!=5040[/tex]
Puisque 2187 < 5040, nous avons démontré que [tex]3^7\le7![/tex]
b) Hérédité.
Supposons que pour un nombre naturel n ≥ 7, nous avons [tex]3^n\le n! [/tex]
Démontrons que [tex]3^{n+1}\le(n+1)![/tex]
En effet,
[tex]3^{n+1}=3\times3^n\le3\times n!\ \ (par\ hypoth\grave{e}se)\\\\3^{n+1}\le3\times n!\le8\times n!\ \ (car\ 3\ \textless \ 8)\\\\3^{n+1}\le8\times n!\le(n+1)\times n!\ \ (car\ n\ge7\Longrightarrow n+1\ge8)\\\\3^{n+1}\le(n+1)\times n!\\\\\Longrightarrow\boxed{3^{n+1}\le(n+1)!}\ \ car\ (n+1)\times n!=(n+1)![/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, la propriété [tex]3^n\le n! [/tex] est donc démontrée pour tout n ≥ 7.
3) Récurrence.
a) Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour le plus petit entier n, soit montrons que [tex]1!\le1^1[/tex]
En effet, [tex]1!=1\ \ et\ \ 1^1=1\Longrightarrow\boxed{1!\le1^1}[/tex]
b) Hérédité : Supposons que pour un nombre naturel n ≥ 1, nous avons [tex]n!\le n^n[/tex]
Montrons que [tex](n+1)!\le (n+1)^{n+1}[/tex]
En effet,
[tex](n+1)!=(n+1)\times n!\le(n+1)\times n^n\ \ (par\ hyp.)\\\\(n+1)!\le(n+1)\times n^n\le(n+1)\times(n+1)^n\ \ (car\ n\le n+1)\\\\(n+1)!\le(n+1)\times(n+1)^n\\\\\Longrightarrow\boxed{(n+1)!\le(n+1)^{n+1}}\ \ car\ \ (n+1)\times(n+1)^n=(n+1)^{n+1}[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, la propriété [tex]n!\le n^n[/tex] est donc démontrée pour tout n ≥ 1.
Exercice 24
[tex]1)\ 4!=\boxed{24}\\\\1\times1!+2\times2!+3\times3!=1+4+18=\boxed{23}\\\\\\2)\ 5!=\boxed{120}\\\\1\times1!+2\times2!+3\times3!+4\times4!=1+4+18+96=\boxed{119}[/tex]
3) Nous pouvons donc conjecturer que pour tout n ≥ 2, [tex]\boxed{\sum\limits_{k=1}^{n-1}k.k!=n!-1}[/tex]
4) Par récurrence.
a) Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour le plus petit entier n, soit montrons que [tex]\sum\limits_{k=1}^{2-1}k.k!=2!-1[/tex]
En effet,
[tex]\sum\limits_{k=1}^{2-1}k.k!=\sum\limits_{k=1}^{1}k.k!=1\times1!=1\times1=\boxed{1}\\\\et\\\\2!-1=2-1=\boxed{1}[/tex]
b) Hérédité.
Supposons que pour un nombre fixé n ≥ 2, nous avons [tex]\sum\limits_{k=1}^{n-1}k.k!=n!-1[/tex]
Montrons que [tex]\sum\limits_{k=1}^{n}k.k!=(n+1)!-1[/tex]
En effet,
[tex]\sum\limits_{k=1}^{n}k.k!=\sum\limits_{k=1}^{n-1}k.k!+n\times n!=(n!-1)+n\times n!=n!+n\times n!-1\\\\\\=1\times n!+n\times n!-1=(1+n)\times n!-1=(n+1)!-1\\\\\Longrightarrow\boxed{\sum\limits_{k=1}^{n}k.k!=(n+1)!-1}[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, la propriété [tex]\sum\limits_{k=1}^{n-1}k.k!=n!-1[/tex] est donc démontrée pour tout n ≥ 2.
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