Bonjour
Carolinaaaaa,
1) Calculons les premier termes de la suite (Un) pour émettre une conjecture.
[tex]\boxed{u_0=0}\\\\u_1=u_0+3\times0\times(0+1)+1=0+0+1=1\Longrightarrow\boxed{u_1=1}\\\\u_2=u_1+3\times1\times(1+1)+1=1+6+1=8\Longrightarrow\boxed{u_2=8}\\\\u_3=u_2+3\times2\times(2+1)+1=8+18+1=27\Longrightarrow\boxed{u_3=27}\\\\u_4=u_3+3\times3\times(3+1)+1=27+36+1=64\Longrightarrow\boxed{u_4=64}[/tex]
Or
[tex]U_{\boxed{0}}=0=\boxed{0}^3\\\\U_{\boxed{1}}=1=\boxed{1}^3\\\\U_{\boxed{2}}=8=\boxed{2}^3\\\\U_{\boxed{3}}=27=\boxed{3}^3\\\\U_{\boxed{4}}=64=\boxed{4}^3[/tex]
Nous pouvons alors conjecturer que [tex]\boxed{u_n=n^3}[/tex]
2) Démonstration par récurrence.
a) Initialisation
Montrons que la relation est vraie pour le plus petit entier ≥ 0, soit pour n = 0
[tex]u_0=0=0^3\Longrightarrow\boxed{u_0=0^3}[/tex]
L'initialisation est donc vraie.
b) Hérédité
Montrons que si pour un nombre entier donné n ≥ 0, nous avons [tex]u_n=n^3[/tex]
alors nous aurons [tex]u_{n+1}=(n+1)^3[/tex]
En effet,
[tex]u_{n+1}=u_n+3n(n+1)+1\\\\u_{n+1}=n^3+3n(n+1)+1\ \ (par\ hypoth\grave{e}se)\\\\u_{n+1}=n^3+3n^2+3n+1\\\\\boxed{u_{n+1}=(n+1)^3}\ \ \\\text{en appliquant la formule }(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré que pour tout entier n ≥ 0, [tex]u_n=n^3[/tex]
3) Soit [tex]v_n=n^3[/tex]
[tex]a)\ v_0=0^3=0=u_0\Longrightarrow\boxed{v_0=u_0}\\\\b)\ v_{n+1}=(n+1)^3\\\\v_{n+1}=n^3+3n^2+3n+1\\\text{en appliquant la formule }(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\\\v_{n+1}=n^3+(3n^2+3n)+1\\\\v_{n+1}=n^3+3n(n+1)+1\\\\\boxed{v_{n+1}=v_n+3n(n+1)+1}[/tex]
Par conséquent, la suite [tex](v_n)[/tex] satisfait la relation de récurrence de la suite [tex](u_n)[/tex]
