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Sagot :
a=2p+1 impair et b=2q+1 impair aussi
a^4 +b^4 = (a²+b²)² - 2a²b²
a^4= 16p^4 + 32p^3 + 24p²+8p+1 et idem pour
b^4 = 16q^4 + 32q^3 + 24q²+8q+1 si bien que
a^4 +b^4 +30 = 16(p^4 +q^4) + 32(p^3 +q^3) + 24(p²+q²) + 8(p+q) + 32
or 16(p^4 +q^4) + 32(p^3 +q^3) + 32 est multiple de 16 ; il reste à prouver que 24(p²+q²) + 8(p+q) est multiple de 16
p²+q² = (p+q)²-2pq donc
24(p²+q²) + 8(p+q) =
(p+q)( 24(p+q) + 8) - 48pq = 8(p+q)( 3(p+q) + 1) - 48pq maintenant 48pq est bien multiple de 16 et il y a 8(p+q)( 3(p+q) + 1) à examiner ; mais soit p et q sont pairs et alors p+q est multiple de 2
donc 8(p+q)( 3(p+q) + 1) multiple de 16 ; c'est aussi le cas si p et q impair ; reste donc à voir si p pair et q impair maos dans ce cas p+q est impair et 3(p+q) aussi et alors 3(p+q)+1 est multiple de 2
Bonsoir ;
a est un nombre entier naturel impair , donc il existe u un nombre entier naturel tel que : a = 2u + 1 .
b est un nombre entier naturel impair , donc il existe v un nombre entier naturel tel que : b = 2v + 1 .
a^4 = (2u + 1)^4 = (2u)^4 + 4(2u)^3 + 6(2u)² + 4(2u) + 1
= 16 u^4 + 32u^3 + 24u² + 8u + 1
= 16 u^4 + 32u^3 + 16u² + 8u² + 8u + 1 .
De même : b^4 = 16 v^4 + 32v^3 + 16v² + 8v² + 8v + 1 ,
donc :
a^4 + b^4 +30 = 16(u^4 + v^4 + 2u^3 + 2v^3 + u² + v² + 2) + 8u² + 8v² 8u + 8v
= 16(u^4 + v^4 + 2u^3 + 2v^3 + u² + v² + 2) + 8u² + 8u + 8v² + 8v
= 16(u^4 + v^4 + 2u^3 + 2v^3 + u² + v² + 2) + 8u(u+1) + 8v(v + 1)
= 16(u^4 + v^4 + 2u^3 + 2v^3 + u² + v² + 2) + 16u(u+1)/2 + 16v(v + 1)/2
= 16(u^4 + v^4 + 2u^3 + 2v^3 + u² + v² + 2 + u(u+1)/2 + v(v + 1)/2) .
Conclusion :
Pour a et b deux nombres entiers naturels impairs:
a⁴+b⁴+30 est un multiple de 16 .
a est un nombre entier naturel impair , donc il existe u un nombre entier naturel tel que : a = 2u + 1 .
b est un nombre entier naturel impair , donc il existe v un nombre entier naturel tel que : b = 2v + 1 .
a^4 = (2u + 1)^4 = (2u)^4 + 4(2u)^3 + 6(2u)² + 4(2u) + 1
= 16 u^4 + 32u^3 + 24u² + 8u + 1
= 16 u^4 + 32u^3 + 16u² + 8u² + 8u + 1 .
De même : b^4 = 16 v^4 + 32v^3 + 16v² + 8v² + 8v + 1 ,
donc :
a^4 + b^4 +30 = 16(u^4 + v^4 + 2u^3 + 2v^3 + u² + v² + 2) + 8u² + 8v² 8u + 8v
= 16(u^4 + v^4 + 2u^3 + 2v^3 + u² + v² + 2) + 8u² + 8u + 8v² + 8v
= 16(u^4 + v^4 + 2u^3 + 2v^3 + u² + v² + 2) + 8u(u+1) + 8v(v + 1)
= 16(u^4 + v^4 + 2u^3 + 2v^3 + u² + v² + 2) + 16u(u+1)/2 + 16v(v + 1)/2
= 16(u^4 + v^4 + 2u^3 + 2v^3 + u² + v² + 2 + u(u+1)/2 + v(v + 1)/2) .
Conclusion :
Pour a et b deux nombres entiers naturels impairs:
a⁴+b⁴+30 est un multiple de 16 .
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