Bonsoir ;
Exercice n° 56 .
1)
a) u_1 = 9 ; v_1 = 6 ;
u_2 = 11,1 ; v_2 = 11,4 ;
u_3 = 16,89 ; v_3 = 16,86 .
b) u_1 - u_0 = 19 ; u_2 - u_1 = 2,1 donc la suite (u_n) n'est une suite arithmétique.
u_1/u_0 = - 0,9 ; u_2/u_1 ≈ 1,23 donc la suite (u_n) n'est une suite géométrique.
v_1 - v_0 = - 13 ; v_2 - v_1 = 5,4 donc la suite (v_n) n'est une suite arithmétique.
v_1/v_0 = 0,3 ; v_2/v_1 ≈ 1,9 donc la suite (v_n) n'est une suite géométrique.
2)
a) a_(n + 1) = u_(n + 1) + v_(n + 1) = 0,7u_n + 0,8v_n + 0,8u_n + 0,7v_n
= 1,5u_n + 1,5v_n = 1,5(u_n + v_n) = 1,5a_n ,
donc la suite (a_n) est une suite géométrique , de raison 1,5 et de premier terme a_0 = u_0 + v_0 = 10 .
b) a_n = 1,5^n x a_0 = 10 x 1,5^n .
lim(n→+∞) u_n = + ∞ car 1,5 > 1 .
3)
a) b_(n + 1) = u_(n + 1) - v_(n + 1) = 0,7u_n + 0,8v_n - 0,8u_n - 0,7v_n
= - 0,1u_n + 0,1v_n = - 0,1(u_n - v_n) = - 0,1b_n ,
donc la suite (b_n) est une suite géométrique de raison - 0,1 et de premier terme b_0 = u_0 _ v_0 = - 30 .
b) b_n = - 30 x (- 0,1)^n .
lim(n→+∞) b_n = 0 car 0,1 < 1 .
c) Puisque (a_n) n'est pas convergente , donc au moins l'une des suites (u_n) et (v_n) ne converge pas , et puisque on a la suite (b_n) qui tend vers 0 , dons les deux suites (u_n) et (v_n) convergent ou divergent en même temps , donc les deux suites (u_n) et (v_n) ne convergent pas .
4) On a : a_n + b_n = u_n + v_n + u_n - v_n = 2u_n
= 10 x 1,5^n - 30 x (- 0,1)^n ,
donc : u_n = 5 x 1,5^n - 15 x (- 0,1)^n .
On a aussi : a_n - b_n = u_n + v_n - u_n + v_n = 2v_n
= 10 x 1,5^n + 30 x (- 0,1)^n ,
donc : v_n = 5 x 1,5^n + 15 x (- 0,1)^n .
5) Puisque u_n diverge , donc la limite cherchée est : +∞.
