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bonsoir j'ai un dm de maths pour demain et je n'ai rien compris,merci d'avance: ABCD est un quadrilatère quelconque non aplati; E,F,G et H sont les milieux respectifs des segments [AB]; [BC]; [CD] et [DA]. Le but du problème est de montrer que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. On raisonnera de deux façons différentes:

Méthode 1: Avec un repère
1)Justifier que (A; B,D) est un repère du plan. Déterminer les coordonnées des points A;B;D;E et H dans ce repère.
2) On note (xC; yC) les coordonnées du point C dans ce repère. Exprimer les coordonnées des points F et G en fonction de xC et de yC.
3)Résoudre alors le problème.

Méthode 2: Propriétés géométriques
1)Démontrer que les droites (AC); (EF) et (HG) sont parallèles.
2)Résoudre le problème.

Sagot :

Laurance
Méthode 1: Avec un repère
1)(A; B,D) est un repère du plan car ABCD  n'est pas aplati 
 A(0 ;0) ;B(1;0)   D(0 ;1)      E ( 1/2 ;0 )   H(0 ;1/2)

2) On note (xC; yC) les coordonnées du point C dans ce repère. Exprimer les coordonnées des points F( (1+xc)/2 ; yc/2)    et G ( xc/2 ;(1+yc) /2)  
3)vec(EF)=  ( xc /2 ; yc/2)  et  vec(HG)= (xc/2 ; yc/2)   
les vecteurs sont égau x donc EFGH parallèlogramme. Méthode 2: Propriétés géométriques

1)E,F,G et H sont les milieux respectifs des segments [AB]; [BC]; [CD] et [DA]
il s'agit du theoreme des milieux  comme 
Eet   F milieux  de   [AB] et  [BC];   alors   (EF)//(AC) 
G et   H milieux  de   [CD] et  [DA];   alors   (GH)//(AC) 
Donc que les droites (AC); (EF) et (HG) sont parallèles


2)Résoudre le problème.   de la même façon
 G et   F milieux  de   [CD] et  [BC];   alors   (GF)//(BD) 
E et   H milieux  de   [AB] et  [DA];   alors   (EH)//(BD) 
Donc que les droites (BD); (EH) et (GF) sont parallèles.   EN CONCLUSION   COMME  (EF)//(GH) et  (EH)//(GF)   alors  EFGH  parallèlogramme
 .
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