Bonjour,
2) f'(x) = 4x - 30 - 50/x²
= (4x³ - 30x² - 50)/x²
= g(x)/x²
x² étant strictement positif sur [1;10], f'(x) a le même signe que g(x).
b) On en déduit le tableau de variations de f :
x 1 xâ‚€ 10
g(x) - 0 +
f'(x)
f(x) f(1) décroiss. f(x₀) croissante f(10)
avec f(1) = 222
f(10) = 105
et f(x₀) ≈ f(7,7) ≈ 94
3) a) h(x) = xf(x)
= x (2x² - 30x + 200 + 50/x)
= 2x³ - 30x² + 200x + 50
⇒ h'(x) = 6x² - 60x + 200
b) h''(x) = 12x - 60
h"(x) = 0 ⇒ x = 60/12 = 5
x 1 5 10
h"(x) - 0 +
h'(x) décrois croiss.
Le minimum est h'(5) = 50
4) h'(x) - f(x) = 0
⇔ 6x² - 60x + 200 - (2x² - 30x + 200 + 50/x) = 0
⇔ 4x² - 30x - 50/x= 0
⇔ (4x³ - 30x² - 50)/x = 0
⇔ g(x)/x = 0
⇔ g(x) = 0 sur [1;10]
g(x) = 0 ⇒ x = x₀ ≈ 7,7
donc h'(x) = f(x) pour x = 7,7
