Bonjour,
Ex 2)
U₁ = 2/(3 - U₀) ) = 2/(3 - 3/2) = 4/3
On vérifie la relation de récurrence au degré 1 :
(2¹ + 2)/(2¹ + 1) = 4/3 donc vraie au rang 1
Hypothèse : Vraie au rang n : Un = (2ⁿ + 2)/(2ⁿ + 1)
Un+1 = 2/(3 - Un)
= 2/(3 - (2ⁿ + 2)/(2ⁿ + 1))
= 2/[3(2ⁿ + 1) - (2ⁿ + 2)]/(2ⁿ + 1)
= 2(2ⁿ + 1)/(2x2ⁿ + 1)
= (2ⁿ⁺¹ + 2)/(2ⁿ⁺¹ + 1)
Récurrence démontrée
Ex 3)
1) (n + 1)² < 2n²
⇔ -n² + 2n + 1 < 0
Δ = 2² - 4x(-1)x1 = 8 = (2√2)²
2 solutions dans R : x₁ = (-2 - 2√2)/-2 = 1 + √2
et x₂ = (-2 + 2√2)/-2 = 1 - √2 < 0
Dans N :
n 0 3 +∞
P(n) + - -
⇒ solutions [3;+∞[
2) n=4 : 2⁴ = 16 et 4² = 16 donc vraie au rang 4
Hypothèse : n≥4, 2ⁿ ≥ n²
au rang n+1 :
2ⁿ⁺¹ = 2 x 2ⁿ et donc 2ⁿ⁺¹ ≥ 2 x n² par hypothèse
Or d'après 1) 2n² > (n+1)² pour n ≥ 3
donc pour n≥4, 2ⁿ⁺¹ ≥ 2n² > (n + 1)²
Soit 2ⁿ⁺¹ ≥ (n + 1)² récurrence démontrée
