Bonjour,
on pose z = a + ib
⇒ Z = (2z - i)/(iz + 1)
= (2a + (2b - 1)i)/(1 - b + ai)
= [(2a + 2bi - i)(1 - b - ai)]/[1 - b + ai)(1 - b - ai)
= [2a - 2ab - 2a²i + 2bi - 2b²i - 2abi² - i + bi + ai²]/[(1 - b)² - (ai)²]
= [(2a - 2ab + 2ab - a) + (-2a² + 2b - 2b² - 1 + b)i]/[(1 - b)² + a²]
= [(a) + (-2a² - 2b² - 1 + 3b)i]/[(1 - b)² + a²]
1) Z ∈ R
⇒ Im(Z) = 0
⇒ -2a² - 2b² - 1 + 3b = 0
⇔ a² + b² + 1/2 - 3b/2 = 0
⇔ a² + (b - 3/4)² - 9/16 + 1/2 = 0
⇔ a² + (b - 1/4)² = 1/16 = (1/4)²
⇒ M appartient au cercle de centre C(0;1/4) et de rayon 1/4
2) Z ∈ I
⇒ Re(Z) = 0
⇒ a = 0
⇒ M appartient à l'axe des imaginaires (privé de i pour que Z existe)
