Bonjour,
1) f est croissante notamment sur [0;+â[
2) Vrai pour n = 0 : 2 †Uâ †10
HypothĂšse : Vrai au rang n
Au rang n+1 : Un+1 = f(Un)
D'aprÚs l'hypothÚse de récurrence : 2 †Un †10
et f est croissante sur [2;9] avec f(2) = ... = 2 et f(10) = ... = 10
â f(2) †f(Un) †f(10)
â 2 †Un+1 †10
Récurrence démontrée
3) Uâ = f(Uâ) = f(9) â 7,6 donc Uâ < Uâ
Supposons qu'au rang n, Un+1 < Un
Au rang n+1 :
Un+2 = f(Un+1)
Par hypothĂšse Un > Un+1
et f est croissante
â f(Un) > f(Un+1)
â Un+1 > Un+2
Récurrence démontrée
â (Un) dĂ©croissante
4) Voir ci-joint
5) On peut conjecturer que lim Un quand nâ+â = 2
(Un) est décroissante et (Un) est minorée par 2
â (Un) convergente
Soit l = lim Un quand nâ+â, on a donc 2 †Un < l
Alors f(2) †f(Un) < f(l) car f croissante
â 2 †Un+1 < f(l)
Or lim Un+1 = l Ă©galement
â l = f(l)
D'aprĂšs le 1), sur [2;10], l = 2 ou 10 â l = 2
