Bonjour,
1) f est croissante notamment sur [0;+∞[
2) Vrai pour n = 0 : 2 ≤ U₀ ≤ 10
Hypothèse : Vrai au rang n
Au rang n+1 : Un+1 = f(Un)
D'après l'hypothèse de récurrence : 2 ≤ Un ≤ 10
et f est croissante sur [2;9] avec f(2) = ... = 2 et f(10) = ... = 10
⇒ f(2) ≤ f(Un) ≤ f(10)
⇒ 2 ≤ Un+1 ≤ 10
Récurrence démontrée
3) U₁ = f(U₀) = f(9) ≈ 7,6 donc U₁ < U₀
Supposons qu'au rang n, Un+1 < Un
Au rang n+1 :
Un+2 = f(Un+1)
Par hypothèse Un > Un+1
et f est croissante
⇒ f(Un) > f(Un+1)
⇔ Un+1 > Un+2
Récurrence démontrée
⇒ (Un) décroissante
4) Voir ci-joint
5) On peut conjecturer que lim Un quand n→+∞ = 2
(Un) est décroissante et (Un) est minorée par 2
⇒ (Un) convergente
Soit l = lim Un quand n→+∞, on a donc 2 ≤ Un < l
Alors f(2) ≤ f(Un) < f(l) car f croissante
⇔ 2 ≤ Un+1 < f(l)
Or lim Un+1 = l également
⇒ l = f(l)
D'après le 1), sur [2;10], l = 2 ou 10 ⇒ l = 2
