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Bonsoir, j'ai deux exercices de terminale S le 31 et 32. J'ai réussi le 1) du 32 pouvez vous m'aider pour le reste svp ?

Bonsoir Jai Deux Exercices De Terminale S Le 31 Et 32 Jai Réussi Le 1 Du 32 Pouvez Vous Maider Pour Le Reste Svp class=

Sagot :

Bonjour ;

Exercice n° 31 .

1) Soit n ∈ N , P_n : n^3 - 3 est divisible par 3 .

Initialisation :
Pour n = 0 , on a : 0^3 - 0 = 0 = 3 x 0 , donc P_n est vérifiée pour n = 0 .

Hérédité :
Supposons que pour un n ∈ N , P_n est vérifiée , donc : n^3 - n est divisible
par 3 , donc il existe k ∈ N , tel que n ^3 - n = 3k .

Vérifions maintenant que P_(n + 1) est vérifiée .

(n + 1)^3 - (n + 1) = n^3 + 3n² + 3n + 1 - n - 1 = n^3 - n + 3(n² + n)
= 3k + 3(n² + n) = 3(k + n² + n) ,
donc (n + 1)^3 - (n + 1) est divisible par 3 ,
donc P_(n + 1) est vérifiée .

Conclusion :
∀ n ∈ N : P_n est vérifiée .

2) Soit n ∈ N , Q_n : 7 x 3^(5n) + 4 est divisible par 11 .

Initialisation :
Pour n = 0 , on a : 7 x 3^(5 x 0) + 4 = 7 + 4 = 11 , donc Q_n est vérifiée pour n = 0 .

Hérédité :
Supposons que pour un n ∈ N , Q_n est vérifiée , donc : 7 x 3^(5n) + 4 est divisible
par 11 , donc il existe k ∈ N , tel que 7 x 3^(5n) + 4 = 11k .

Vérifions maintenant que Q_(n + 1) est vérifiée .

7 x 3^(5(n + 1)) + 4 = 7 x 3^(5n) x 3^5 + 4 = 7 x 3^(5n) x 3^5 + 4 x 3^5 - 4 x 3^5 + 4
= 3^5(7 x 3^(5n) + 4) - 4(3^5 - 1) = 3^5 x 11k - 4 x 242 = 11(3^5 x k) - 88 x 11
= 11(3^5 x k - 88) ,

donc 7 x 3^(5(n + 1)) + 4 est divisible par 11 ,
donc Q_(n + 1) est vérifiée .

Conclusion :
∀ n ∈ N : Q_n est vérifiée .




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