uo= 1 un+1= 1/2 un + n - 1
1)a)comme on dit que n-1 est positif il est donc évident que dés que un est positif on aura un+1 qui sera positif il y a donc hérédité
il faut voir ensuite l'initialisation u0=1 positif u1= -1/2 négatif et
u2= -1/4 négatif mais u3= -1/8 +1 est positif donc les autres termes sont positifs aussi
b)Démontrer que, pour tout entier n≥4, un≥n-2
si un ≥ n -2 alors un+1 ≥ 1/2(n -2) + n -1 = 1/2(n-2) + n+1 - 2 et comme n ≥ 4 alors 1/2(n-2) ≥ 0 donc un+1 ≥ n+1 -2 c'est l'hérédité
pour l'initialisation : n=4 u4= -1/16 +1/2 + 2 = 2 + 7/16 et n-2=2 donc u4 ≥ 4 -2 c'est vrai
c)la limite de la suite (un) est superieure ou égale à la limite de la suite n-2 qui est +infini donc c'est +infini
2)On donne l'algorithme suivant:
Variable : n est un entier naturel
u et M sont des nombres réels
Initialisation : n prend la valeur 0
u prend la valeur 1
Traitement : Saisir M
Tantque u Affecter à n la valeur n+1
Affecter à u la valeur 1/2 u+n-
Sortie : FinTantQue
Afficher n
a) expliquer ce que fait cet algorithme: il n'est sans doute pas complet
b)Justifier qu'il affiche un résultat quelle que soit la valeur de M saisie
3)On définit la suite (Vn) par:
pour tout entier naturel n, Vn=4un-8n+24
a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.vn+1 = 4un+1 - 8(n+1) + 24 = 2un + 4n - 4 -8n-8+24
vn+1= 2un - 4n +12 or
4un = vn + 8n -24 donc 2un = 1/2vn + 4n -12
et vn+1= 1/2vn + 4n -12 -4n +12 = 1/2vn
vn suite géométrique de raison 1/2 de premier terme v0= 4+24=28
b) on en déduit que, pour tout entier naturel n, vn = 28( 1/2)^n =28/2^n puis 2un = 14/2^n + 4n -12 et un = 7/2^n + 2n - 6
un=7/2^n+2n-6
c)Retrouver la limite de (Un) la limite de 7/2^n est 0 et la limite de 2n -6 est + infini
