Bonjour,
1) n=0 3⁰ = 1 et 1 + 2x0 = 1 donc propriété vérifiée au rang 0
Hypothèse : Propriété vraie au rang n, soit 3²ⁿ ≥ 1 + 2n
Au rang (n + 1) :
3²⁽ⁿ⁺¹⁾ = 3²ⁿ⁺² = 3² x 3²ⁿ = 9 x 3²ⁿ
Par hypothèse, 3²ⁿ ≥ 1 + 2n
⇒ 9 x 3²ⁿ ≥ 9 + 18n
Or 9 + 18n = [1 + 2(n+1)] + [6 + 16n]
Et (6 + 16n) > 0
Donc, 9 + 18n ≥ 1 + 2(n+1)
Soit 3²⁽ⁿ⁺¹⁾ ≥ 1 + 2(n+1)
Propriété héritée au rang (n+1)
2) Supposons √(16n² + 8n + 3) ∈ N
Alors il existe p ∈ N tel que (16n² + 8n + 3) = p²
⇔ 16n² + 8n + (3 - p²) = 0
Δ = 8² - 4 x 16 x (3 - p²) = 64(1 - 3 + p²) = 64(p² - 2)
Si p = 0 ou p = 1, Δ < 0 donc pas de solution donc impossible
Si p > 1, Δ > 0 donc 2 solutions :
n = (-8 - √[64(p² - 2)])/32 < 0 donc impossible dans N
ou
n = (-8 + √[64(p² - 2)])/32 = -1/4[1 - √(p² - 2)]
Or √(p² - 2) = √[(p - √2)(p + √2)] donc ∉ N ⇒ n ∉ N donc impossible
Conclusion : √(16n² + 8n + 3) ∉ N
