Bonjour,
1) z₁ = -3/2 + i√(3)/2
et z₂ = Conjugué de z₁ = -3/2 - i√(3)/2
Le minimum à savoir :
Forme algébrique : z = a + ib
Forme trigonométrique : z = |z|(cos(θ) + isin(θ))
avec |z| = module = √(a² + b²)
|z₁| = √[(-3/2)² + (√(3)/2)²] = √(9/4 + 3/4) = √(12/4) = √(3)
Donc z₁ = √(3) x (-√(3)/2 + i/2)
On cherche alors un angle θ tel que cos(θ) = -√(3)/2 et sin(θ) = 1/2
⇒ θ = 5π/6
Et donc z₁ = √3(cos(5π/6) + isin(5π/6))
D'où z₂ = √3)(cos(-5π/6) + isin(-5π/6))
A et B sont donc sur le cercle de centre O et de rayon √(3) et tel que :
Angle(u;OA) = 5π/6 et Angle(u;OB) = -5π/6
Voir figure
2) z₃ = 7/2 - i√(3)/2 affixe de D
et Zk = 1 affixe de K
distance AK = |zk - z₁| = |1 + 3/2 - i√(3)/2| = |5/2 - i√(3)/2|
= √[(5/2)² + (√(3)/2)²] = √(25/4 + 3/4) = √(28/4) = √(7)
de même : BK = |zk - z₂| = |5/2 + i√(3)/2| = √(7)
Et : DK = |zk - z₃| = |1 - 7/2 + i√(3)/2| = |-5/2 + i√(3)/2|
= √[(-5/2)² + (√(3)/2)²] = √(25/4 + 3/4) = √(28/4) = √(7)
Donc AK = BK = DK
⇒ A, b et K ∈ (C) de centre K et de rayon √(7)
b) (z₁ + z₃)/2
= (-3/2 + i√(3)/2 + 7/2 - i√(3)/2)/2
= (4/2)/2
= 1
= zk
⇒ K milieu de [AD]
c) D'après b), [AD] est un diamètre de (C)
Et B ∈ (C)
⇒ ABD est rectangle en B
