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Pizza62
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Bonsoir à tous, je viens quérir de l'aide ici car je bloque pour les deux dernières questions de cet exercice:

On considére les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par :

U0 = 0
Un+1 = (2Un+Vn)/3

V0 = 2
Vn+1= (Un+2Vn)/3

1. Calculer U1, U2 et V1,V2

2. On considère la suite (Dn) définie pour tout entier naturel n par
Dn = Un-Vn
a. Montrer que (Dn) est une suite géométrique.
b. Donner l'expression de (Dn) en fonction de n.

3. Soit Sn = Un+Vn pour tout n >ou= 0
a. Calculer S0, S1 et S2
b. Montrer que Sn+1 = Sn. Qu'en déduit-on ?

4. En déduire Un et Vn en fonction de n.

5. Déterminer en fonction de n

Un = U0+U1+U2+...+Un et Vn = V0+V1+V2+...+Vn

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

Dn+1= Dn/3  donc (Dn) suite géode raison 1/3 et de 1er terme D0 = -2

Donc Dn = -2 x (1/3)^n

Sn+1 = Un + Vn = Sn donc suite constante Sn = S0 = 2

Un + Vn = 2
Un - Vn = -2 x (1/3)^n

Donc :

Un = 1 - (1/3)^n  (en faisant la somme membre à membre des 2 égalités précédentes)

et Vn = 1 + (1/3)^n

Ensuite sommes des n premiers termes ...
Greencalogero
Bonjour,
Je te propose la démarche suivante:

1) U(1)=(2U(0)+V(0))/3=(2*0+2)/3=2/3
U(2)=(2U(1)+V(1))/3=(2*2/3+4/3)/3=8/9
V(1)=(U(0)+2V(0))/3=(0+2*2)/3=4/3
V(2)=(U(1)+2V(1))/3=(2/3+2*4/3)/3=10/9

2)a) Pour démontrer cela, nous allons essayer de montrer que D(n+1)/D(n)=cst:
D(n+1)/D(n)=(U(n+1)-V(n+1))/(U(n)-V(n))
D(n+1)/D(n)=((2U(n)+V(n)/3-(U(n)-2V(n)/3)/(U(n)-V(n))
D(n+1)/D(n)=((2/3)U(n)+V(n)/3-(U(n)/3-(2/3)V(n))/(U(n)-V(n))
D(n+1)/D(n)=(U(n)/3-V(n)/3)/(U(n)-V(n))
D(n+1)/D(n)=(1/3)(U(n)-V(n))/(U(n)-V(n))
D(n+1)/D(n)=1/3
D(n) est donc bien une suite géométrique de raison 1/3

b) Comme D(n) est une suite géométrique donc elle est de la forme:
D(n)=D(0)*q^n
D(n)=(U(0)-V(0))q^n
D(n)=(0-2)*(1/3)^n
D(n)=-2(1/3)^n

3)a) S(0)=U(0)+V(0)=0+2=2
S(1)=2/3+4/3=2
S(2)=8/9+10/9=2

b) Nous allons étudier S(n+1)-S(n) donc:
S(n+1)-S(n)=U(n+1)+V(n+1)-U(n)-V(n)
S(n+1)-S(n)=(2U(n)+V(n))/3+(U(n)+2V(n))/3-U(n)-V(n)
S(n+1)-S(n)=(2/3)U(n)+V(n)/3+U(n)/3+(2/3)V(n)-U(n)-V(n)
S(n+1)-S(n)=U(n)+V(n)-U(n)-V(n)
S(n+1)-S(n)=0
S(n+1)=S(n) donc la suite S est constante.

4) On sait que l'on a:
D(n)=U(n)-V(n)
S(n)=U(n)+V(n)
comme on a S(n)=cst=2 et V(n)=-2(1/3)^n donc:
-2(1/3)^3=U(n)-V(n) donc U(n)=V(n)+2(1/3)^n
d'où:
2=V(n)+V(n)-2(1/3)^n
2=2V(n)-2(1/3)^n
V(n)=1+(1/3)^n

U(n)+V(n)=2
U(n)=2-V(n)
U(n)=2-1-(1/3)^n
U(n)=1-(1/3)^n

5)∑(Ui avec 0≤i≤n)=(n+1)(U(0)+U(n))/2
∑(Ui avec 0≤i≤n)=(1/2)(n+1)(1-(1/3)^n)

∑(Vi avec 0≤i≤n)=(n+1)(V(0)+V(n))/3
∑(Vi avec 0≤i≤n)=(1/2)(n+1)(2+1+(1/3)^n)
∑(Vi avec 0≤i≤n)=(1/2)(n+1)(3+(1/3)^n)





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