👤
Pizza62
Answered

FRstudy.me fournit une plateforme conviviale pour partager et obtenir des connaissances. Posez vos questions et recevez des réponses rapides et précises de la part de notre communauté d'experts expérimentés.

Bonsoir à tous, je viens quérir de l'aide ici car je bloque pour les deux dernières questions de cet exercice:

On considére les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par :

U0 = 0
Un+1 = (2Un+Vn)/3

V0 = 2
Vn+1= (Un+2Vn)/3

1. Calculer U1, U2 et V1,V2

2. On considère la suite (Dn) définie pour tout entier naturel n par
Dn = Un-Vn
a. Montrer que (Dn) est une suite géométrique.
b. Donner l'expression de (Dn) en fonction de n.

3. Soit Sn = Un+Vn pour tout n >ou= 0
a. Calculer S0, S1 et S2
b. Montrer que Sn+1 = Sn. Qu'en déduit-on ?

4. En déduire Un et Vn en fonction de n.

5. Déterminer en fonction de n

Un = U0+U1+U2+...+Un et Vn = V0+V1+V2+...+Vn

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

Dn+1= Dn/3  donc (Dn) suite géode raison 1/3 et de 1er terme D0 = -2

Donc Dn = -2 x (1/3)^n

Sn+1 = Un + Vn = Sn donc suite constante Sn = S0 = 2

Un + Vn = 2
Un - Vn = -2 x (1/3)^n

Donc :

Un = 1 - (1/3)^n  (en faisant la somme membre à membre des 2 égalités précédentes)

et Vn = 1 + (1/3)^n

Ensuite sommes des n premiers termes ...
Greencalogero
Bonjour,
Je te propose la démarche suivante:

1) U(1)=(2U(0)+V(0))/3=(2*0+2)/3=2/3
U(2)=(2U(1)+V(1))/3=(2*2/3+4/3)/3=8/9
V(1)=(U(0)+2V(0))/3=(0+2*2)/3=4/3
V(2)=(U(1)+2V(1))/3=(2/3+2*4/3)/3=10/9

2)a) Pour démontrer cela, nous allons essayer de montrer que D(n+1)/D(n)=cst:
D(n+1)/D(n)=(U(n+1)-V(n+1))/(U(n)-V(n))
D(n+1)/D(n)=((2U(n)+V(n)/3-(U(n)-2V(n)/3)/(U(n)-V(n))
D(n+1)/D(n)=((2/3)U(n)+V(n)/3-(U(n)/3-(2/3)V(n))/(U(n)-V(n))
D(n+1)/D(n)=(U(n)/3-V(n)/3)/(U(n)-V(n))
D(n+1)/D(n)=(1/3)(U(n)-V(n))/(U(n)-V(n))
D(n+1)/D(n)=1/3
D(n) est donc bien une suite géométrique de raison 1/3

b) Comme D(n) est une suite géométrique donc elle est de la forme:
D(n)=D(0)*q^n
D(n)=(U(0)-V(0))q^n
D(n)=(0-2)*(1/3)^n
D(n)=-2(1/3)^n

3)a) S(0)=U(0)+V(0)=0+2=2
S(1)=2/3+4/3=2
S(2)=8/9+10/9=2

b) Nous allons étudier S(n+1)-S(n) donc:
S(n+1)-S(n)=U(n+1)+V(n+1)-U(n)-V(n)
S(n+1)-S(n)=(2U(n)+V(n))/3+(U(n)+2V(n))/3-U(n)-V(n)
S(n+1)-S(n)=(2/3)U(n)+V(n)/3+U(n)/3+(2/3)V(n)-U(n)-V(n)
S(n+1)-S(n)=U(n)+V(n)-U(n)-V(n)
S(n+1)-S(n)=0
S(n+1)=S(n) donc la suite S est constante.

4) On sait que l'on a:
D(n)=U(n)-V(n)
S(n)=U(n)+V(n)
comme on a S(n)=cst=2 et V(n)=-2(1/3)^n donc:
-2(1/3)^3=U(n)-V(n) donc U(n)=V(n)+2(1/3)^n
d'où:
2=V(n)+V(n)-2(1/3)^n
2=2V(n)-2(1/3)^n
V(n)=1+(1/3)^n

U(n)+V(n)=2
U(n)=2-V(n)
U(n)=2-1-(1/3)^n
U(n)=1-(1/3)^n

5)∑(Ui avec 0≤i≤n)=(n+1)(U(0)+U(n))/2
∑(Ui avec 0≤i≤n)=(1/2)(n+1)(1-(1/3)^n)

∑(Vi avec 0≤i≤n)=(n+1)(V(0)+V(n))/3
∑(Vi avec 0≤i≤n)=(1/2)(n+1)(2+1+(1/3)^n)
∑(Vi avec 0≤i≤n)=(1/2)(n+1)(3+(1/3)^n)





Votre engagement est important pour nous. Continuez à partager vos connaissances et vos expériences. Créons un environnement d'apprentissage agréable et bénéfique pour tous. Vous avez trouvé vos réponses sur FRstudy.me? Revenez pour encore plus de solutions et d'informations fiables.