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Sagot :
Bonjour Requin22
Résoudre dans R l'inéquation suivante :
[tex]|3x-7|-|3-8x|\le5[/tex]
Nous savons que
[tex]|3x-7|=\left\lbrace\begin{array}l3x-7\ si\ 3x-7\ge0\ (x\ge\dfrac{7}{3})\\-3x+7\ si\ 3x-7\ \textless \ 0\ (x\ \textless \ \dfrac{7}{3}) \end{array}[/tex]
[tex]|3-8x|=\left\lbrace\begin{array}l3-8x\ si\ 3-8x\ge0\ (x\le\dfrac{3}{8})\\-3+8x\ si\ 3-8x\ \textless \ 0\ (x\ \textgreater \ \dfrac{3}{8}) \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&\dfrac{3}{8}&&\dfrac{7}{3}&&+\infty\\&&&&&&\\|3x-7|&&-3x+7&|&-3x+7&0&3x-7&\\|3-8x|&&3-8x&0&-3+8x&|&-3+8x&\\ \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}|3x-7|-|3-8x|&&5x+4&||&-11x+10&||&-5x-4\\ \end{array}[/tex]
1er cas : [tex]\boxed{x\in\ ]-\infty;\dfrac{3}{8}]}[/tex]
[tex]5x+4\le5\\\\5x\le1\\\\x\le\dfrac{1}{5}[/tex]
Ces valeurs de x conviennent car ces valeurs de x appartiennent à l'intervalle ]-oo ; 3/8]
D'où, le premier sous-ensemble des solutions de l'inéquation proposée est [tex]\boxed{S_1=\ ]-\infty;\dfrac{1}{5}]}[/tex]
2ème cas : [tex]\boxed{x\in[\dfrac{3}{8};\dfrac{7}{3}]}[/tex]
[tex]-11x+10\le5\\\\-11x\le-5\\\\x\ge\dfrac{-5}{-11}\\\\x\ge\dfrac{5}{11}[/tex]
Or [tex]x\in[\dfrac{3}{8};\dfrac{7}{3}]\Longrightarrow x\le\dfrac{7}{3}[/tex]
D'où, le deuxième sous-ensemble des solutions de l'inéquation proposée est [tex]\boxed{S_2=[-\dfrac{5}{11};\dfrac{7}{3}]}[/tex]
3ème cas : [tex]\boxed{x\in[\dfrac{7}{3};+\infty[}[/tex]
[tex]-5x-4\le5\\\\-5x\le9\\\\x\ge\dfrac{9}{-5}\\\\x\ge-\dfrac{9}{5}[/tex]
Or [tex]x\in[\dfrac{7}{3};+\infty[[/tex]
D'où, le troisième sous-ensemble des solutions de l'inéquation proposée est [tex]\boxed{S_3=[\dfrac{7}{3};+\infty[}[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation proposée est [tex]S=S_1\cup S_2\cup S_3=]-\infty;\dfrac{1}{5}]\ \cup\ [-\dfrac{5}{11};\dfrac{7}{3}]\ \cup\ [\dfrac{7}{3};+\infty[[/tex] c'est-à-dire [tex]\boxed{S=]-\infty;\dfrac{1}{5}]\ \cup\ [-\dfrac{5}{11};+\infty[}[/tex]
Résoudre dans R l'inéquation suivante :
[tex]|3x-7|-|3-8x|\le5[/tex]
Nous savons que
[tex]|3x-7|=\left\lbrace\begin{array}l3x-7\ si\ 3x-7\ge0\ (x\ge\dfrac{7}{3})\\-3x+7\ si\ 3x-7\ \textless \ 0\ (x\ \textless \ \dfrac{7}{3}) \end{array}[/tex]
[tex]|3-8x|=\left\lbrace\begin{array}l3-8x\ si\ 3-8x\ge0\ (x\le\dfrac{3}{8})\\-3+8x\ si\ 3-8x\ \textless \ 0\ (x\ \textgreater \ \dfrac{3}{8}) \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&\dfrac{3}{8}&&\dfrac{7}{3}&&+\infty\\&&&&&&\\|3x-7|&&-3x+7&|&-3x+7&0&3x-7&\\|3-8x|&&3-8x&0&-3+8x&|&-3+8x&\\ \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}|3x-7|-|3-8x|&&5x+4&||&-11x+10&||&-5x-4\\ \end{array}[/tex]
1er cas : [tex]\boxed{x\in\ ]-\infty;\dfrac{3}{8}]}[/tex]
[tex]5x+4\le5\\\\5x\le1\\\\x\le\dfrac{1}{5}[/tex]
Ces valeurs de x conviennent car ces valeurs de x appartiennent à l'intervalle ]-oo ; 3/8]
D'où, le premier sous-ensemble des solutions de l'inéquation proposée est [tex]\boxed{S_1=\ ]-\infty;\dfrac{1}{5}]}[/tex]
2ème cas : [tex]\boxed{x\in[\dfrac{3}{8};\dfrac{7}{3}]}[/tex]
[tex]-11x+10\le5\\\\-11x\le-5\\\\x\ge\dfrac{-5}{-11}\\\\x\ge\dfrac{5}{11}[/tex]
Or [tex]x\in[\dfrac{3}{8};\dfrac{7}{3}]\Longrightarrow x\le\dfrac{7}{3}[/tex]
D'où, le deuxième sous-ensemble des solutions de l'inéquation proposée est [tex]\boxed{S_2=[-\dfrac{5}{11};\dfrac{7}{3}]}[/tex]
3ème cas : [tex]\boxed{x\in[\dfrac{7}{3};+\infty[}[/tex]
[tex]-5x-4\le5\\\\-5x\le9\\\\x\ge\dfrac{9}{-5}\\\\x\ge-\dfrac{9}{5}[/tex]
Or [tex]x\in[\dfrac{7}{3};+\infty[[/tex]
D'où, le troisième sous-ensemble des solutions de l'inéquation proposée est [tex]\boxed{S_3=[\dfrac{7}{3};+\infty[}[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation proposée est [tex]S=S_1\cup S_2\cup S_3=]-\infty;\dfrac{1}{5}]\ \cup\ [-\dfrac{5}{11};\dfrac{7}{3}]\ \cup\ [\dfrac{7}{3};+\infty[[/tex] c'est-à-dire [tex]\boxed{S=]-\infty;\dfrac{1}{5}]\ \cup\ [-\dfrac{5}{11};+\infty[}[/tex]
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