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Bonjour,
J’aurais besoin d’aide s’il vous plaît j’ai un DM de maths pour lundi mais je n’arrive pas à faire le questi.
Pouvez vous m’aider s’il vous plaît :
1) Sur un segment [AB] de longueur 10, on place un point M. On construit deux carrés AMCD et MBEF.
a) On pose x = AM.
Exprimer l'aire des carrés AMCD et MBEF en fonction de x.
b) Prouver que la somme des aires des deux carrés s'exprime par la fonction f définie par f(x)=2x2 −20x+100.
c) Exprimer f sous sa forme canonique.
d) En déduire la position du point M pour que la somme des aires des deux carrés soit
minimum.
2) Obtient-on un résultat analogue en calculant le minimum de la somme des aires de deux disques de diamètres respectifs [AM] et [MB] ?
Faire une figure et résoudre cette nouvelle situation.
3) On considère maintenant un carré de côté [AM] et un disque de diamètre [MB]. Démontrer que la somme des aires du carré et du disque est minimum lorsque le rayon du
disque est égal à 20 . π+4

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

3)

Aire du carré de côté [AM] = x : A(x)= x²

Rayon du cercle : BM/2 = (AB - AM)/2 = (10 - x)/2

Aire du cercle de rayon BM : A'(x) = π(10 - x)²/4

Somme des 2 aires :

S(x) = A(x) + A'(x)

= x² + π(10 - x²)/4

= x² + π(100 - 20x + x²)/4

= x² + 25π - 5πx + πx²/4

= (1 + π/4)x² - 5πx + 25π

Δ = (-5π)² - 4 x (1 + π/4) x 25π

⇔ Δ = 25π² - 100π - 25π²
⇔ Δ = - 100π

Donc Δ < 0

Le trinôme ne s'annule jamais, donc ne change pas de signe.
S(0) = 25π > 0

Donc S(x) est toujours positif.

Le minimum est atteint pour xmin = -b/2a

avec b = -5π et a = 1 + π/4

soit xmin = 5π/2(1 + π/4) = 5π/(2 + π/2)          (≈ 4,4)

Le rayon du disque vaut alors :

BM = (10 - xmin)/2

= 5 - xmin/2

= 5 - 5π/(4 + π)

= [5(4 + π) - 5π]/(4 + π)

= (20 + 5π - 5π)/(4 + π)

= 20/(4 + π)
 
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