Bonjour,
1) n⁵ - n divisible par 5
Initialisation :
on vérifie : n = 0 → 0 div. par 5, n = 1 → 0 div. par 5, n = 2 → 30 div.par 5.
Hypothèse :
On suppose que la propriété est vraie eu rang n
Au rang (n + 1) :
(n + 1)⁵ - (n + 1)
= n⁵ + 5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n + 1 - n - 1
= n⁵ + 5(n⁴ + 2n³ + 2n² + n) - n
= (n⁵ - n) + 5(n⁴ + 2n³ + 2n² +n)
Par hypothèse de récurrence, n⁵ - n est divisible par 5.
Donc (n + 1)⁵ - (n + 1) divisible par 5
⇒ Hérédité démontrée
2) n(n + 1)(n + 2) divisible par 6
n = 0 → 0 div. par 6
n = 1 → 6 div. par 6
On suppose vraie au rang n.
Au rang (n + 1) :
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
= n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1)(n + 2)
Par hypothèse n(n + 1)(n + 2) est divisible par 6
Reste :
Si n est pair, (n + 2) est pair donc 3(n + 1)(n + 2) divisible par 6
Si n impair, (n + 1) est pair ⇒ 3(n + 1)(n + 2) divisible par 6
hérédité démontrée
4) x/(1 + y) = y/(1 + x)
⇔ x(1+ x) = y(1 + y)
⇔ x² + x = y² + y
⇔ (x + 1/2)² - 1/4 = (y + 1/2)² - 1/4
⇔ (x + 1/2) = (y + 1/2) ou (x + 1/2) = -(y + 1/2)
⇔ x = y ou x = -(y + 1)
Donc dans R+, x = y car -(y + 1) < 0 donc ∉ R+
Par l'absurde ... On suppose x ≠ y
⇒ (x + 1/2) ≠ (y + 1/2)
⇒ (x + 1/2)² ≠ (y + 1/2)²
⇒ etc...
⇒ x² + x ≠ y² + y
⇒ x(x + 1) ≠ y(y + 1)
⇒ x/(y + 1) ≠ y/(x + 1)
6) x³ - x² - 2x > 0
⇒ x(x² - x - 2) > 0
⇔ x(x - 2)(x + 1) > 0
x -∞ -1 0 2 +∞
x - - 0 + +
x+1 - 0 + + +
x-2 - - - 0 +
produit - 0 + 0 - 0 +
donc > 0 sur ]-1;0[ U ]2;+∞[
donc x³ - x² -2x > 0 ⇒ x > 2 dans R+ (ce qui n'est pas l'énoncé ??)
⇒ x³ - x² - 2x < 0 ⇒ x < 2 dans R+
Dans R, je capte pas
et il manque le 3 ;(
