Bonjour Wiamekr
Exercice 2
[tex]1)\ A\subset B\Longleftrightarrow B\cup\overline{A}=E[/tex]
Montrons que [tex]A\not\subset B\Longleftrightarrow B\cup\overline{A}\neq E[/tex]
En effet
[tex]A\not\subset B\\\\\Longleftrightarrow\exists x\in E:x\in A\ et\ x\notin B\\\\\Longleftrightarrow\exists x\in E:x\in A\cap\overline{B}\\\\\Longleftrightarrow\exists x\in E:x\notin\overline{A}\cup B\\\\\Longleftrightarrow\exists x\in E:x\notin B\cup\overline{A}\\\\\Longleftrightarrow B\cup\overline{A}\neq E[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{A\subset B\Longleftrightarrow B\cup\overline{A}=E}[/tex]
[tex]2)\ A\subset B\Longleftrightarrow A\cap\overline{B}=\varnothing[/tex]
Montrons que [tex]A\not\subset B\Longleftrightarrow A\cap\overline{B}\neq\varnothing[/tex]
En effet :
[tex]A\not\subset B\Longleftrightarrow\exists x\in E:x\in A\ et\ x\notin B\\\\\Longleftrightarrow\exists x\in E:x\in A\cap\overline{B}\\\\\Longleftrightarrow A\cap\overline{B}\neq\varnothing[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{A\subset B\Longleftrightarrow A\cap\overline{B}=\varnothing}[/tex]
Exercice 3
Ecrire en extension : [tex]A=\{x\in\mathbb{N}|\dfrac{3x+2}{x-2}\in\mathbb{Z}\}[/tex]
[tex]\dfrac{3x+2}{x-2}=\dfrac{3x-6+6+2}{x-2}\\\\\dfrac{3x+2}{x-2}=\dfrac{3(x-2)+8}{x-2}\\\\\dfrac{3x+2}{x-2}=\dfrac{3(x-2)}{x-2}+\dfrac{8}{x-2}\\\\\boxed{\dfrac{3x+2}{x-2}=3+\dfrac{8}{x-2}}[/tex]
D'où [tex]\dfrac{3x+2}{x-2}\in\mathbb{Z}\ \ si\ \ \dfrac{8}{x-2}\in\mathbb{Z}[/tex]
Il faut donc que x-2 soit un diviseur de 8.
Or les diviseurs de 8 sont -8 , -4, -2, -1 , 1 , 2 , 4 , 8.
x - 2 = -8 ==> x = -6 ∉ IN
x - 2 = -4 ==> x = -2 ∉ iN
x - 2 = -2 ==> x = 0
x - 2 = -1 ==> x = 1
x - 2 = 1 ==> x = 3
x - 2 = 2 ==> x = 4
x - 2 = 4 ==> x = 6
x - 2 = 8 ==> x = 10.
Par conséquent, [tex]\boxed{A=\{0,1,3,4,6\}}[/tex]
Ecrire en extension : [tex]B=\{x\in\mathbb{N}\ |\ \dfrac{5x+7}{x-1}\in\mathbb{N}\}[/tex]
[tex]\dfrac{5x+7}{x-1}=\dfrac{5x-5+5+7}{x-1}\\\\\dfrac{5x+7}{x-1}=\dfrac{5(x-1)+12}{x-1}\\\\\dfrac{5x+7}{x-1}=\dfrac{5(x-1)}{x-1}+\dfrac{12}{x-1}\\\\\boxed{\dfrac{5x+7}{x-1}=5+\dfrac{12}{x-1}}[/tex]
D'où [tex]\dfrac{5x+7}{x-1}\in\mathbb{N}\ \ si\ \ \dfrac{12}{x-1}\in\mathbb{N} [/tex]
Il faut donc que x-1 soit un diviseur de 12.
Or les diviseurs de 12 sont -12 , -6, -4 , -3 , -2, -1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12.
x - 1 = -12 ==> x = -11 ∉ IN
x - 1 = -6 ==> x = -5 ∉ IN
x - 1 = -4 ==> x = -3 ∉ IN
x - 1 = -3 ==> x = -2 ∉ IN
x - 1 = -2 ==> x = -1 ∉ IN
x - 1 = -1 ==> x = 0 mais [tex]\dfrac{5x+7}{x-1}=\dfrac{7}{-1}\notin\mathbb{N}[/tex]
x - 1 = 1 ==> x = 2
x - 1 = 2 ==> x = 3
x - 1 = 3 ==> x = 4
x - 1 = 4 ==> x = 5
x - 1 = 6 ==> x = 7
x - 1 = 12 ==> x = 13.
Par conséquent, [tex]\boxed{B=\{2,3,4,5,7,13\}}[/tex]
