Bonjour,
1. Justifier que 2 = 2 × 2.
√2 = p/q ⇒ (√)² = (p/q)² ⇔ 2 = p²/q² ⇔ p² = 2q²
2. a. Suivant le dernier chiffre de , quel est le dernier chiffre de son carré ?
Répondre en recopiant et en complétant le tableau ci-dessous.
Dernier chiffre de 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dernier chiffre de ² 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
b. Suivant le dernier chiffre de , quel est le dernier chiffre de 2 × 2 ? Procéder de même qu’en 2.a..
q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
q² 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
2q² 0 2 8 8 2 0 2 8 8 2
3. Puisqu’on a 2 = 2 × 2, quelle est la seule possibilité pour le dernier chiffre de 2 et de 2 × 2 ?
D'après les 2 tableaux, la seule possibilité est 0
4. Dans ce cas, par quel chiffre se termine forcément ? par 0
Par quels chiffres peut se terminer ? par 0 ou par 5
La fraction / est elle alors irréductible ?
Si p et q se termine par 0, alors la fraction p/q peut se simplifier par 10, donc n'est pas irrationnelle. Par exemple 10/20 = 1/2
Si p se termine par 0 et q par 5, alors la fraction p/q peut se simplifier par 5, donc n'est pas non plus irrationnelle. Par exemple 10/15 = 2/3
Conclure : Il est impossible que √2 soit un nombre rationnel.
