Bonjour ;
a) On a :
[tex]\forall x \in \mathbb R : cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 ; \\\\ \textit{donc pour } x = \dfrac{t}{2} \textit{ on a : } cos(t) = 2cos^2(\dfrac{t}{2}) - 1 \\\\ \textit{donc } 2 + 2cos(t) = 2 + 4 cos^2(\dfrac{t}{2}) - 2 = 4 cos^2(\dfrac{t}{2}) . [/tex]
b) Initialisation :
On a :
[tex]x_0 = 2cos(x) = 2cos(\dfrac{a}{2^0}) [/tex]
Hérédité :
[tex]\textit{Soit n } \in \mathbb N \textit{ tel que } x_n = 2cos(\dfrac{a}{2^n}) , \textit{ et calculons } x_{n+1} . \\\\ x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} = \sqrt{2 + 2 cos(\dfrac{a}{2^n})} = \sqrt{4cos^2(\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{2^n}))} = \sqrt{4cos^2(\dfrac{a}{2^{n+1}})}[/tex]
[tex]= 2cos(\dfrac{a}{2^{n+1}}) : \textit{car a } \in [0 ; \dfrac{\pi}{2}][/tex]
Conclusion :
[tex]\forall n \in \mathbb N : x_n = 2cos(\dfrac{a}{2^n}) .[/tex]
