Bonjour,
1) a) voir ci-joint
b) On peut conjecturer que les points K, P et Q sont alignés.
2) On se place dans le repère (A;AB,AD)
Dans ce repère : A(0;0) B(1;0) D(0;1) et C(1;1)
O milieu de [AC] et de [BD]. Donc O(1/2;1/2)
Point K(xK;yK) : Symétrique de C par rapport à B
⇒ BK = CB
⇒ xK - 1 = 1 - 1
et yK - 0 = 0 - 1
⇔ xK = 1 et yK = -1
Donc K(1;-1)
Point M(xM ; yM) : Symétrique de O par rapport à D
⇒ DM = OD
⇒ xM - 0 = 0 - 1/2
et yM - 1 = 1 - 1/2
⇔ xM = -1/2 et yM = 3/2
Donc M(-1/2;3/2)
Point G(xG;yG) : AG = 2/3AO
⇒ xG - 0 = 2/3(1/2 - 0)
et yG - 0 = 2/3(1/2 - 0)
⇔ xG = 1/3 et yG = 1/3
Donc G(1/3;1/3)
Point P(xP;yP) : Intersection des droites (MC) et (AD)
P ∈ (AD) ⇒ xP = 0
P ∈ (MC) ⇒ MP = kMC (les vecteurs sont colinéaires)
⇒ xP - (-1/2) = k(1 - (-1/2))
et yP - 3/2 = k(1 - 3/2)
⇔ 1/2 = k x 3/2
et yP = -1/2 x k + 3/2
⇔ k = 1/3
et yP = -1/6 + 3/2 = 8/6 = 4/3
Donc P(0;4/3)
Point Q(xQ;yQ) : Intersection des droites (MG) et (AB)
Q ∈ (AB) ⇒ yQ = 0
Q ∈ (MG) ⇒ MQ = k'MG
⇒ xQ - (-1/2) = k'(1/3 - (-1/2))
et 0 - (3/2) = k'(1/3 - 3/2)
⇔ -3/2 = k' x (-7/6) soit k' = 9/7
et xQ = 9/7 x 5/6 - 1/2 = 15/14 - 7/14 = 8/14 = 4/7
Donc Q(4/7 ; 0)
K, P et Q sont ils alignés ?
PQ(4/7 - 0 ; 0 - 4/3) soit PQ(4/7 ; -4/3)
PK(4/7 - 1 ; 0 - (-1)) soit PK(-3/7 ; 1)
On constate que : -4/3PK = PQ
⇒ PK et PQ sont colinéaires
Donc K,P et Q sont alignés
Essaie de reposter le second. C'est beaucoup trop long....
