Bonjour,
71)
a) f est une fonction polynôme donc f est définie et continue sur R. Donc idem sur I car I ⊂ R.
b) f'(x) = 3x² - 2x = x(3x - 2)
S'annule pour x = 0 et x = 2/3
x -∞ 0 2/3 10
x - 0 + +
3x - 2 - - 0 +
f'(x) + 0 - 0 +
c)
f(x) croiss. décrois. croiss.
f(0) = -1
f(2/3) = 8/27 - 4/9 -1 = (8 - 12 - 27)/27 = -31/27
f(10) = 1000 - 100 - 1 = 899
lim f(x) quand x → -∞ = -∞
d) f(1) = -1
et lim f(x) en -∞ = -∞
⇒ f est strictement négative sur ]-∞;1]
⇒ f(x) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle
e) f est croissante sur [2/3;10]
1 > 2/3 ⇒ f est croissante sur [1;10]
f(1) < 0
f(10> 0
⇒ il existe une unique valeur x₀ ∈ [1;10] tel que f(x₀) = 0
On trouve 1 < x₀ < 2
65)
f(x) = x³ - 3x² + 6 sur [-2;3]
f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)
x -2 0 2 3
x - 0 + +
x-2 - - 0 +
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) crois. décrois. crois.
f(-2) = -14
f(0) = 6
f(2) = 2
f(3) = 6
b) Sur [0;2], f est décroissante de f(0) > 0 à f(2) > 0 ⇒ f(x) = 0 n'a pas de solution sur [0;2]
Sur [2;3], f est croissante de f(2) > 0 à f(3) > 0 ⇒ f(x) = 0 n'a pas de solution sur [2;3]
Sur [-2;0], f est croissante de f(-2) < 0 à f(0) > 0 ⇒ il existe un unique α ∈ [-2;0] tel que f(α) = 0
(Théorème des valeurs intermédiaires et/ou de la bijection)
c)
x -2 α 3
f(x) - 0 +
d) α ≈ -1,19 à 0,01 près
