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Sagot :
Bonjour,
Tu aurais pu commencer le raisonnement, au moins donner la traduction mathématique des énoncés... Mais bon, voici des pistes. Je ne détaille pas les calculs, tu devrais être en mesure de le faire (n'oublie pas de le faire, sans le calcul intermédiaire le résultat ne vaut rien)
On a P1(q)=-q²+16q-39 et P2(q)=-q²+24q-108
- q quantités produites en milliers d'unités;
- les profits sont donnés en milliers d'euros
1)a) Si les profits de la première firme sont nuls, alors P1(q)=0
Il suffit de résoudre cette équation du second degré :
-q²+16q-39=0
(calcul du discriminant)
Une seule solution double : q=13
Attention on obtient une valeur en milliers d'unités, donc tu dois préciser que pour 13 000 produits, les profits de la première firme sont nuls.
b) le profit est le résultat de l'équation. On cherche donc q, le nombre de produits, tels que le profit soit égal à 36 000, soit 36 milliers (attention, le résultat est donné en milliers d'unités !)
La traduction mathématique est donc P2(q) = 36.
De la même manière, on résout l'équation
-q+24q-108=36
Impossible à résoudre en l'état, il faut obtenir une équation de la forme aq²+bq+c=0
On remet donc tous les termes du même côté :
⇔ -q²+24q-108-36=0
⇔ -q²+24q-144=0
Toujours la même routine, discriminant, puis solutions...
On trouve au final q=12.
Ce qui signifie (n'oublie pas la phrase finale) que le nombre de produits est égal à 12 milliers pour que le profit soit de 36 000.
2)a) On recherche le nombre de produits q tel que les deux firmes aient le même profit.
La traduction mathématique est donc P1(q) = P2(q)
Quand on remplace, on obtient -q²+16q-39 = -q²+24q-108
Pour résoudre cette équation, de la même manière qu'à la question 1)b), on bascule tous les termes du même côté.
-q²+16q-39 = -q²+24q-108
⇔ -q²+16q-39 - (-q²+24q-108) = 0
⇔ ... (je te laisse terminer le calcul)
Cela revient à résoudre -8q+69. Il s'agit d'une équation du premier degré, que tu pourras résoudre assez simplement, on trouve à la fin q=8,625, soit 8,625 milliers d'unités = 8625 unités produites pour avoir le même profit dans les deux firmes.
b) Il faut calculer soit P1(8,625), soit P2(8,625). Cela revient au même de toute façon, si tu as bien compris la question 2)a). On trouve environ 25€.
3) On recherche tous les réels q tels que P2(q) > P1(q)
Or pour avoir la position relative de deux fonctions f et g, on étudie le signe de f(x)-g(x) soit P2(q) - P1(q)
On a déjà effectué cette équation à la question 2)a), cela revient à l'équation -8q+69.
Il faut ici faire un tableau de signes et de trouver pour quelles valeurs -8q+69 est positif, soit P2(q) - P1(q) > 0, soit P2(q) > P1(q).
Redemande si tu as besoin d'aide pour le tableau de signes, mais cela devrait être à ta portée (sinon, aide toi de ton cours qui doit mentionner cette histoire d'étude de signe de f(x)-g(x)...)
Attention je le répète, mes calculs sont incomplets, il faut que tu les complètes (et surtout que tu les comprennes), tu ne peux pas les recopier tels quels...
N'hésite pas si tu as des questions sur mon raisonnement.
Tu aurais pu commencer le raisonnement, au moins donner la traduction mathématique des énoncés... Mais bon, voici des pistes. Je ne détaille pas les calculs, tu devrais être en mesure de le faire (n'oublie pas de le faire, sans le calcul intermédiaire le résultat ne vaut rien)
On a P1(q)=-q²+16q-39 et P2(q)=-q²+24q-108
- q quantités produites en milliers d'unités;
- les profits sont donnés en milliers d'euros
1)a) Si les profits de la première firme sont nuls, alors P1(q)=0
Il suffit de résoudre cette équation du second degré :
-q²+16q-39=0
(calcul du discriminant)
Une seule solution double : q=13
Attention on obtient une valeur en milliers d'unités, donc tu dois préciser que pour 13 000 produits, les profits de la première firme sont nuls.
b) le profit est le résultat de l'équation. On cherche donc q, le nombre de produits, tels que le profit soit égal à 36 000, soit 36 milliers (attention, le résultat est donné en milliers d'unités !)
La traduction mathématique est donc P2(q) = 36.
De la même manière, on résout l'équation
-q+24q-108=36
Impossible à résoudre en l'état, il faut obtenir une équation de la forme aq²+bq+c=0
On remet donc tous les termes du même côté :
⇔ -q²+24q-108-36=0
⇔ -q²+24q-144=0
Toujours la même routine, discriminant, puis solutions...
On trouve au final q=12.
Ce qui signifie (n'oublie pas la phrase finale) que le nombre de produits est égal à 12 milliers pour que le profit soit de 36 000.
2)a) On recherche le nombre de produits q tel que les deux firmes aient le même profit.
La traduction mathématique est donc P1(q) = P2(q)
Quand on remplace, on obtient -q²+16q-39 = -q²+24q-108
Pour résoudre cette équation, de la même manière qu'à la question 1)b), on bascule tous les termes du même côté.
-q²+16q-39 = -q²+24q-108
⇔ -q²+16q-39 - (-q²+24q-108) = 0
⇔ ... (je te laisse terminer le calcul)
Cela revient à résoudre -8q+69. Il s'agit d'une équation du premier degré, que tu pourras résoudre assez simplement, on trouve à la fin q=8,625, soit 8,625 milliers d'unités = 8625 unités produites pour avoir le même profit dans les deux firmes.
b) Il faut calculer soit P1(8,625), soit P2(8,625). Cela revient au même de toute façon, si tu as bien compris la question 2)a). On trouve environ 25€.
3) On recherche tous les réels q tels que P2(q) > P1(q)
Or pour avoir la position relative de deux fonctions f et g, on étudie le signe de f(x)-g(x) soit P2(q) - P1(q)
On a déjà effectué cette équation à la question 2)a), cela revient à l'équation -8q+69.
Il faut ici faire un tableau de signes et de trouver pour quelles valeurs -8q+69 est positif, soit P2(q) - P1(q) > 0, soit P2(q) > P1(q).
Redemande si tu as besoin d'aide pour le tableau de signes, mais cela devrait être à ta portée (sinon, aide toi de ton cours qui doit mentionner cette histoire d'étude de signe de f(x)-g(x)...)
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