Sagot :
Bonjour Onepiecedu94
Exercice 1
Partie A
1) Une diminution hebdomadaire du volume d'eau de 3% correspond à une coefficient multiplicateur de 1-3/100 = 1-0,03 = 0,97.
Volume d'eau au bout de 2 semaines : [tex]0,97\times0,97\times90=84,681\ m^3[/tex].
D'où le volume d'eau contenu dans le bassin au bout de 2 semaines est égal à 84,681 m³.
2) a) Comme expliqué dans la question précédente, le coefficient multiplicateur est égal à 0,97.
Par conséquent, [tex]\boxed{V_{n+1}=0,97\times V_n}[/tex]
b) La suite (Vn) est une suite géométrique de raison 0,97 et dont le premier terme est V₀ = 90.
[tex]\Longrightarrow V_n=V_0\times q^n\\\\\Longrightarrow\boxed{V_n=90\times0,97^n}[/tex]
3) Au bout de 4 semaines, le volume d'eau contenu dans le bassin est égal à [tex]V_4=90\times0,97^4\approx\boxed{79,676\ m^3}[/tex]
Calculons le taux d'évolution en pourcentage du volume d'eau au bout de 4 semaines.
[tex]\dfrac{V_4-V_0}{V_0}\times100=\dfrac{79,676-90}{90}\times100\approx\boxed{-11,47}[/tex]
Par conséquent, au bout de 4 semaines, le bassin a perdu environ 11,47 % de son volume initial.
Partie B
1) Tableau
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} N&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\U&90&89,7&89,41&89,13&88,85&88,59&88,33&88,08&87,84\\&V&V&V&V&V&V&V&V&Faux\\ \end{array}[/tex]
2) En sortie de l'algorithme, nous obtenons 8.
Cela signifie que le volume d'eau contenu dans le bassin sera inférieur à 88 m³ au bout de 8 semaines.
Exercice 2
[tex]f(x)=\dfrac{2x^2+x-3}{x^2}[/tex]
[tex]1)\ a)\ \lim\limits_{x\to0}f(x)=\left[\dfrac{-3}{0^+}\right]\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\infty}\\\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2}[/tex]
b) On en déduit que la courbe admet une asymptote verticale d'équation x = 0 et une asymptote horizontale en +oo d'équation y = 2.
[tex]2)\ a)\ f'(x)=\dfrac{(2x^2+x-3)'\times x^2-(2x^2+x-3)\times(x^2)'}{x^4}\\\\\\f'(x)=\dfrac{(4x+1)\times x^2-(2x^2+x-3)\times2x}{x^4}\\\\\\f'(x)=\dfrac{4x^3+x^2-4x^3-2x^2+6x}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{-x^2+6x}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{x(-x+6)}{x^4}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{-x+6}{x^3}}[/tex]
b) Tableau de variation de f sur l'intervalle ]0 ; +oo[
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&6&&+\infty\\&&&&&\\-x+6&+&+&0&-&\\x^3&0&+&+&+&\\&&&&&\\f'(x)&||&+&0&-&\\&&&&&\\f(x)&||-\infty&\nearrow&\dfrac{25}{12}&\searrow&2\\ \end{array}[/tex]
3) Une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3 est de la forme : [tex]\boxed{y=f'(3)(x-3)+f(3)}[/tex] avec [tex]f(3)=2\ \ et\ \ f'(3)=\dfrac{1}{9}[/tex]
D'où une équation de la tangente à la courbe au point A d'abscisse 3 est :
[tex]y=\dfrac{1}{9}(x-3)+2\\\\y=\dfrac{1}{9}x-\dfrac{1}{3}+2\\\\\boxed{y=\dfrac{1}{9}x+\dfrac{5}{3}}[/tex]
Exercice 1
Partie A
1) Une diminution hebdomadaire du volume d'eau de 3% correspond à une coefficient multiplicateur de 1-3/100 = 1-0,03 = 0,97.
Volume d'eau au bout de 2 semaines : [tex]0,97\times0,97\times90=84,681\ m^3[/tex].
D'où le volume d'eau contenu dans le bassin au bout de 2 semaines est égal à 84,681 m³.
2) a) Comme expliqué dans la question précédente, le coefficient multiplicateur est égal à 0,97.
Par conséquent, [tex]\boxed{V_{n+1}=0,97\times V_n}[/tex]
b) La suite (Vn) est une suite géométrique de raison 0,97 et dont le premier terme est V₀ = 90.
[tex]\Longrightarrow V_n=V_0\times q^n\\\\\Longrightarrow\boxed{V_n=90\times0,97^n}[/tex]
3) Au bout de 4 semaines, le volume d'eau contenu dans le bassin est égal à [tex]V_4=90\times0,97^4\approx\boxed{79,676\ m^3}[/tex]
Calculons le taux d'évolution en pourcentage du volume d'eau au bout de 4 semaines.
[tex]\dfrac{V_4-V_0}{V_0}\times100=\dfrac{79,676-90}{90}\times100\approx\boxed{-11,47}[/tex]
Par conséquent, au bout de 4 semaines, le bassin a perdu environ 11,47 % de son volume initial.
Partie B
1) Tableau
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} N&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\U&90&89,7&89,41&89,13&88,85&88,59&88,33&88,08&87,84\\&V&V&V&V&V&V&V&V&Faux\\ \end{array}[/tex]
2) En sortie de l'algorithme, nous obtenons 8.
Cela signifie que le volume d'eau contenu dans le bassin sera inférieur à 88 m³ au bout de 8 semaines.
Exercice 2
[tex]f(x)=\dfrac{2x^2+x-3}{x^2}[/tex]
[tex]1)\ a)\ \lim\limits_{x\to0}f(x)=\left[\dfrac{-3}{0^+}\right]\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\infty}\\\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2}[/tex]
b) On en déduit que la courbe admet une asymptote verticale d'équation x = 0 et une asymptote horizontale en +oo d'équation y = 2.
[tex]2)\ a)\ f'(x)=\dfrac{(2x^2+x-3)'\times x^2-(2x^2+x-3)\times(x^2)'}{x^4}\\\\\\f'(x)=\dfrac{(4x+1)\times x^2-(2x^2+x-3)\times2x}{x^4}\\\\\\f'(x)=\dfrac{4x^3+x^2-4x^3-2x^2+6x}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{-x^2+6x}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{x(-x+6)}{x^4}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{-x+6}{x^3}}[/tex]
b) Tableau de variation de f sur l'intervalle ]0 ; +oo[
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&6&&+\infty\\&&&&&\\-x+6&+&+&0&-&\\x^3&0&+&+&+&\\&&&&&\\f'(x)&||&+&0&-&\\&&&&&\\f(x)&||-\infty&\nearrow&\dfrac{25}{12}&\searrow&2\\ \end{array}[/tex]
3) Une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3 est de la forme : [tex]\boxed{y=f'(3)(x-3)+f(3)}[/tex] avec [tex]f(3)=2\ \ et\ \ f'(3)=\dfrac{1}{9}[/tex]
D'où une équation de la tangente à la courbe au point A d'abscisse 3 est :
[tex]y=\dfrac{1}{9}(x-3)+2\\\\y=\dfrac{1}{9}x-\dfrac{1}{3}+2\\\\\boxed{y=\dfrac{1}{9}x+\dfrac{5}{3}}[/tex]
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