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s'il vous aider moi a faire cet exercice
montre par récurrence que
∀x∈N il existe ( aₓ + bₓ ) ∈ N² tel que
aₓ + bₓ √3 = (2 + √3 )^x
aₓ² - 3bₓ² = 1

Sagot :

Laurance
S'il vous aider moi a faire cet exercice
montre par récurrence que
∀x∈N il existe mais  ( aₓ ;  bₓ )  ∈ N² tel que     (  c'est  pas    ( aₓ + bₓ )  )
aₓ + bₓ √3 = (2 + √3 )^x
aₓ² - 3bₓ² = 1             c'est  vrai  pour  x=1    :  a1=2            b1 = 1   a1²-b1²=3                 c'est vrai aussi  pour  x=2   puisque  (2 + √3 )^2 = 4 + 4√3 +3 = 7 + 4√3      a2=7      b2=4    et   a2² - 3b2² = 49-3*16=1                                                              supposons  que ce soit encore vrai  pour  un x quelconque  et voyons si c'est toujours vrai  pour  x+1                                                                   admettons donc  que aₓ + bₓ √3 = (2 + √3 )^x
aₓ² - 3bₓ² = 1             alors   (2 + √3 )^(x+1)=  (aₓ + bₓ √3 )(2 + √3)= 
  (aₓ + bₓ √3 )(2 + √3)=  (2aₓ + aₓ √3+3bₓ + 2bₓ √3 )
= 2aₓ +3bₓ + (aₓ +2bₓ )√3  =  [tex] a_{x+1} + b_{x+1} \sqrt{3}
=( 2 + \sqrt{3})^(x+1)              et  
( 2aₓ + 3bₓ )² - 3(aₓ +2 bₓ)²
= 4aₓ² - 3aₓ² +12aₓ bₓ +9bₓ² - 12bₓ² -12aₓ bₓ =   aₓ² - 3bₓ² = 1
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