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Bonjour a tous pouvez vous m'aider svp je n'arrive vraiment pas

On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n par un+1 = 2 un + 5
Démontrer par récurrence que pour tout entier strictement positif, un > 2n

Sagot :

Meral
On montre que ∀n>0 Un>2n
initialisation: pour n=1 : U1=2U0 + 5 = 5 >2 donc vraie pour n=1
hérédité: on suppose que Un>2n 
et on montre que U(n+1)>2(n+1) 
 U(n+1) - 2(n+1) = 2Un+5-2n-2 = 2Un-2n+3
on a Un>2n donc 2Un>4n
alors 2Un-4n>0 alors 2Un-2n-2n>0
donc 2Un-2n+3>2n+3
et on a 2n+3>0
alors 2Un-2n+3>0 ce qui implique U(n+1)-2(n+1)>0
alors u(n+1)>2(n+1)
conclusion: ∀n>0, Un>2n

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