Bonjour,
a) Supposons que M = A. Alors AM = 0 et le petit carré a une aire nulle, et le triangle a une aire maximale égale au quart de celle du grand carré.
A l'inverse, supposons que M = B, alors le triangle a une aire nulle et le petit carré a une aire maximale égale à celle du grand.
Donc quand l'aire du carré augmente, celle du triangle diminue et réciproquement. On peut donc en déduire qu'il y a une valeur de x qui permet d'obtenir une aire du motif minimale.
On peut donc conjecturer que l'aire su motif est minimale quand l'aire du carré et l'aire du triangle sont minimales en même temps pour la même valeur de AM.
b)
1) MB = AB - AM = 4 - x
2) Aire du carré : A₁ = x²
Aire du triangle : A₂
Le triangle MBH est rectangle et isocèle en H.
Donc la hauteur issue de H a une longueur égale à MB/2
On en déduit A₂ = (base x hauteur)/2 = (MB x MB/2)/2
Soit A₂ = (4 - x)²/4
Donc l'aire du motif A vaut :
A = A₀ + A₁ = x² + (4 - x)²/4
3) A = [4x² + 16 - 8x + x²]/4
⇔ A = (5x² - 8x + 16)/4
A est minimale quand (5x² - 8x + 16) est minimum :
5x² - 8x + 16
= 5(x² - 8x/5 + 16/5)
= 5[(x - 4/5)² - (4/5)² + 16/5]
= 5[(x - 4/5)² - 16/25 + 80/25]
= 5[(x - 4/5)² + 64/25] (forme canonique)
Le minimum est donc atteint pour x = 4/5 = 0,8
Soit AM = 0,8 et MB = 3,2
L'aire du carré vaut alors 0,8² = 0,64
et l'aire du triangle : 3,2²/4 = 2,56
