Bonjour;
Ex1)
au rang 0 : 0/2⁰⁻¹ = 0 et 4(3/4)⁰ = 4 donc vrai
Hypothèse : n/2ⁿ⁻¹ ≤ 4(3/4)ⁿ
Il y a peut-être une démo directe au rang (n+1) mais ça me parait plus
compliqué que de bidouiller un peu l'hypothèse :
n/2ⁿ⁻¹ ≤ 4(3/4)ⁿ
⇔ n/2ⁿ⁻¹ ≤ 3ⁿ/(2²)ⁿ⁻¹ (4 = 1/4⁻¹ = 1/(2²)⁻¹)
⇔ n ≤ 3ⁿ x 2ⁿ⁻¹/(2²)ⁿ⁻¹
⇔ n ≤ 3ⁿ/2ⁿ⁻¹
Au rang (n+1) :
n + 1 ≤ 3ⁿ/2ⁿ⁻¹ + 1 par hypothèse de récurrence
⇔ n + 1 ≤ (3ⁿ x 2ⁿ⁻¹)/2ⁿ⁻¹
⇔ n + 1 ≤ 2(3ⁿ x 2ⁿ⁻¹)/2ⁿ
⇔ n + 1 ≤ (3ⁿ x 2ⁿ)/2ⁿ
Or ∀ n ≥ 2, 2ⁿ > 3 donc n + 1 ≤ (3ⁿ x 3)/2ⁿ
Soit n + 1 ≤ 3ⁿ⁺¹/2ⁿ
Récurrence démontrée pour tout n ≥ 2
Donc il faut vérifier que la propriété est vraie pour n = 1 pour pouvoir
généraliser : 1/2⁰ = 1 et 4(3/4)¹ = 3 donc vraie au rang 1
Il doit y avoir plus élégant mais bon...
Ex 2)
Supposons √(n/(n+1)) = a/b avec a et b premiers entre eux et ≠ 0
⇔ b√n = a√(n + 1)
⇒ √n et √(n+1) ∈ N : impossible car si n est un carré, (n + 1) n'en est jamais un.
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a + b√2 = 0
⇒ √2 = -a/b si b≠0
or √2 irrationnel ⇒ impossible
Donc b = 0 et par conséquent a = 0
Ex 3)
Si n pair
⇒ n²⁰¹⁷ pair ⇒ n²⁰¹⁷ = 2k
et (n+1) impair donc (n+1)²⁰¹⁸ impair ⇒ (n+1)²⁰¹⁸ = 2k' + 1
⇒ (1 + n²⁰¹⁷ + (n+1)²⁰¹⁸) = 1 + 2k + 2k' + 1 = 2(1 + k + k')
⇒ 2(1 + k + k')/2 = 1 + k + k' ∈ N
Même démo si n impair/(n+1) pair
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n(n+1)(n+2)(n+3) + 1
= n(n² + 3n + 2)(n + 3) + 1
= ((n² + 3n + 1) + 1)(n² + 3n) + 1
= (n² + 3n + 1)(n² + 3n) + (n²+ 3n) + 1
= (n² + 3n + 1)(n² + 3n + 1)
= (n² + 3n + 1)²
⇒ √(n² + 3n + 1)² = n² + 3n + 1 ∈ N
