Bonjour,
1) Pour la 1ere question nous allons partir de la définition du factorielle.
(n+1)!=1*2*3*...*n*(n+1) avec n∈N
comme n!=1*2*3*....*n donc:
(n+1)!=(n+1)*n! ----->CQFD
2) Nous allons utiliser la démonstration par récurrence:
- Initialisation: si n=7 donc 3^7=2187 et 7!=5040 donc 2187≤5040 donc vraie au rang n=7
- On va supposer que la relation est vraie au rang n donc 3^n≤n!
-3*3^n≤3*n!
3^(n+1)≤3*n!
Or si n≥7 alors (n+1)*n!≥3*n! donc (n+1)!≥3*n!
On en conclut alors:
3^(n+1)≤3*n!≤(n+1)!
3^(n+1)≤(n+1)!------> CQFD
Si n devient très grand alors 3^(n+1) devient très grand ainsi que (n+1) ! donc en vertus du théorème des gendarmes on a:
Lim n! qd n tend vers +∞=+∞
