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Bonjour, j'ai un dm de math de 1ère S sur le quel je bloque un peu, j'aurais donc besoin d'aide.
(l'énoncé n'est utile que pour la question 1 a la quelle j'ai déjà répondu )
2) Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x^3
a.Montrer que pour tous rééls a et b : f(b)-f(a)= b^3-a^3=(b-a)(b²+ab+a²)
b. Montrer que pour tous réels a et b : b²+ab+a² >= 0
c. en déduire que: pour tout a,b ∈ R,a f(b)-f(a)>=0
d.Que peut-on en déduire quand au sens de variation de la fonction f ?
Je vous remercie d'avance ! :)

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

2)a) (b - a)(b² + ab + a²)

= b³ + ab² + a²b - ab² - a²b - a³

= b³ - a³

= f(b) - f(a)

b) Pour tous réels a et b :

a² + b² + ab

= a²/2 + b²/2 + ab + a²/2 + b²/2

= (a/√2 + b/√2)² + a²/2 + b²/2    car (a/√2 + b/√2)² = a²/2 + ab + b²/2

⇒ somme de carrés donc de nombres positifs ou nuls

⇒ a² + ab + b² ≥ 0

c) Si b ≥ a,  (b - a) ≥ 0 ⇒ f(b) - f(a) = (b - a)(a² + ab + b²) ≥ 0
(Si b ≤ a, f(b) - f(a) ≤ 0 : ce cas n'est pas prévu dans l'énoncé, bizarre, sauf si a et b étaient définis avant)

d) Donc  :

b ≥ a ⇒ f(b) ≥ f(a) ⇒ f est croissante sur R
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