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Sqara
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Bonjour je ne comprend pas mon exercice de maths pourriez-vous m'aider.

On note x=racine de 1+ racine de 1+ racine de 1+...(racine infini)
1) exprimer x² et x+1 sous forme d'une racine infini et en déduire de quelle equation x est solution.
2) montrer que cette equation est équivalent à (x-1\2)²-5/4=0
3)resoudre cette equation et en déduire une expression plus simple de x.
Je vous remercie d'avance.


Sagot :

Bonjour ;

1)

[tex]x = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...} } } } \\\\\ x^2 = 1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...} } } } \\\\ x + 1 = 1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...} } } }[/tex]

[tex]x^2 = x + 1 \Rightarrow x^2 - x - 1 = 0 .[/tex]

2)

[tex]x^2 - x - 1 = x^2 - 2 * \dfrac{1}{2} * x + ( \dfrac{1}{2})^2 - ( \dfrac{1}{2})^2 - 1 \\\\ =(x^2 - 2 * \dfrac{1}{2} * x + ( \dfrac{1}{2})^2) - \dfrac{1}{4} - 1 = (x - \dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{5}{4} .[/tex]

3)

[tex]x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow \Delta = 1 + 4 = 5 \\\\ \Rightarrow x_1 = \dfrac{1 - \sqrt{5} }{2} \ \textless \ 0 \\\\ x_2 = \dfrac{1 + \sqrt{5} }{2} \ \textgreater \ 0 ; [/tex]

donc :

[tex]x = \dfrac{1 + \sqrt{5} }{2} .[/tex]

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