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Carla55
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Bonjour,pouvez-vous m'aider avec deux exercice?
1. [tex](1- \frac{1}{ 2^{2} } ) (1- \frac{1}{ 3^{2} } )...[1- \frac{1}{(n+1)^{2} } ] = \frac{n+2}{2n+2}
[/tex]
2. [tex](1- n^{2} )[1- \frac{1}{ (n+1)^{2} } ] ...[1- \frac{1}{ (2n-1)^{2} } ] = \frac{2n-2}{2n-1} [/tex]

Sagot :

Bonsoir,

Pour la question 1:

[tex]1- \dfrac{1}{2^2} =(1+ \dfrac{1}{2} )(1- \dfrac{1}{2} )= \dfrac{3}{2} *\dfrac{1}{2}\\\\ 1- \dfrac{1}{3^2} =(1+ \dfrac{1}{3} )(1- \dfrac{1}{3} )= \dfrac{4}{3} *\dfrac{2}{3}\\\\ 1- \dfrac{1}{4^2} =(1+ \dfrac{1}{4} )(1- \dfrac{1}{4} )= \dfrac{5}{4} *\dfrac{3}{4}\\\\ ...\\\\ 1- \dfrac{1}{n^2} =(1+ \dfrac{1}{n} )(1- \dfrac{1}{n} )= \dfrac{n+1}{n} *\dfrac{n-1}{n}\\\\ 1- \dfrac{1}{(n+1)^2} =(1+ \dfrac{1}{n+1} )(1- \dfrac{1}{n+1} )= \dfrac{n+2}{1+n} *\dfrac{n}{n+1}\\\\ [/tex]

Dans le produit après simplification , il reste [tex] \dfrac{1}{2} * \dfrac{n+2}{n+1} [/tex]

2) Je trouve [tex] \dfrac{2n^2}{(n+1)*(2n-1)} \\\\ [/tex]
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