Bonjour,
Ex 3)
1) 3³ = 27 = 2x13 + 1 ⇒ 3³≡1 (13)
Théorèmes :
a≡b (n) et a'≡b' (n) ⇒ axa'≡bxb' (n)
Dont on déduit quand a = a' et b = b' : a≡b (n) ⇒ aⁿ≡bⁿ (n)
Donc 3³≡1 (13) ⇒ (3³)ⁿ≡1 (n) ⇔ 3³ⁿ≡1 (n)
2) 3⁶ⁿ⁺² + 3³ⁿ⁺¹ + 1
= 9x(3³ⁿ)² + 3x(3³ⁿ) + 1
⇒ ≡ 9 + 4 + 1 (13)
⇔ ≡13 (13)
donc divisible par 13
Ex 4)
1)
8² a 7 diviseurs positifs (1,2,4,8,16,32,64)
30² a 27 diviseurs positifs...
225² a 25 diviseurs positifs
2) 8 = 2³ ⇒ 8² = 2⁶ (6+1) = 7 diviseurs
30 = 2x3x5 ⇒ 30² = 2²x3²x5² (2+1)(2+1)(2+1) = 27 diviseurs
225 = 3²x5² ⇒ 225² = 3⁴x5⁴ (4+1)(4+1) = 25 diviseurs
n carré parfait ⇔ Tous les exposants ki des facteurs premiers de n sont pairs
Or le nombre de diviseurs d'un entier est égal au produit des (ki + 1) (théorème)
Donc si tous les ki est pair, tous les (ki + 1) sont impairs.
On en déduit que le produit des (ki + 1) est impair.
Et donc que le nombre de diviseurs d'un carré parfait est impair.
