(1) a) Montrer que la somme des aires des triangles SDP et PCQ vaut : 6x - x²
Aire de SDP : 1/2)* x(6 - x)
Aire de PCQ : 1/2)* x(6 - x)
Somme des 02 aires est : 2 * 1/2)*x(6 - x) = x (6 - x) = 6x - x²
b) Aire du triangle SAR est : 1/2) * x * 1 = x/2
Aire du triangle RBQ est : 1/2) * (6 - x) * 5 = 5/2) * (6 - x)
c) Déduire l'aire A(x) de PQRS
A(x) = 36 - (6x - x² +x/2 + 5/2(6 - x) )
= 36 - ( x (6 - x) + 5/2(6 - x) + x/2)
= 36 - ( (6 - x)(x + 5/2) + x/2)
= 36 - (6x + 15 - x² - 5x/2 + x/2)
= 36 - (- x² + 4x + 15)
= 36 + x² - 4x - 15 = x² - 4x +21
2) A(x) = x² - 4x +21
= x² - 4x + 4 + 17
= (x - 2)² + 17
3) Résoudre l' équation et l'inéquation
a) A(x) = 18
(x - 2)² + 17 = 18 ⇒ (x - 2)² = 18 - 17
(x - 2)² = 1
(x - 2)² - 1² = 0
Identité remarquable
(x - 2 +1)(x - 2 - 1) = 0
(x - 1)(x - 3) = 0 ⇒ x - 1 = 0 ; x = 1
ou x - 3 = 0 ; x = 3
b) A(x) sup à 26
(x - 2)² + 17 sup à 26
(x - 2)² sup à 26 - 17
(x - 2)² - 3² sup à 0
(x - 2 + 3)(x - 2 -3) sup à 0
(x +1)(x - 5) sup à 0
x + 1 sup à 0 ⇒ x sup à - 1
et x - 5 sup à 0 ⇒ x sup à 5
4) Pour quelle valeur de x A(x) est minimale
A(x) = = (x - 2)² + 17
x = 2 A(2) = 17
Pour justifier, il suffit de remplacer x par 2 Des fonctions de la somme des aires des triangles SDP et PCQ
et les aires SAR et RBQ, et déduire l'aire PQRS connaissant l'aire du carré = 36