1. [tex]
$A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$
$B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$
$\quad$[/tex]
2.La matrice gauche associée [tex] \begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} est :
C=A\times G=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}
[/tex]
La fraction est donc [tex]\dfrac{2+1}{3+2}=\dfrac{3}{5}.
\quad[/tex] .
3. a) d(a+c)−c(b+d)=ad+dc−cb−cd=ad−bc=1
b) On a MxG = \begin{pmatrix} a+c&c\\b+d&d\end{pmatrix}
Ainsi :
\Delta_{M\times G} = d(a+c)-c(b+d)
D’après la question précédente, puisque \Delta_M=1 alors \Delta_{M\times G}=1.
4. Pour toutes les matrices N de l’arbre de Stern-Brocot on a d(a+c)-c(b+d)=1
D’après le théorème de Bezout, cela signifie que a+c et b+d sont premiers entre-eux et donc que la fraction \dfrac{a+c}{b+d} est irréductible.
\quad
5. a) \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Affichage}&\phantom{\text{Gauche}}&\text{Gauche}&\text{Droite}&\text{Gauche}&\text{Gauche}\\ \hline m&4&4&1&1&1\\ \hline n&7&3&3&2&1\\ \hline \end{array}
\quad
b) On peut émettre la conjecture suivante : “l’algorithme fournit le chemin à suivre à partir de la matrice unité pour obtenir une fraction \dfrac{m}{n} donnée.
En suivant ce chemin GDGG on obtient les matrices suivantes :
\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&1\\1&2\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}
La fraction associée à cette dernière matrice est f=\dfrac{3+1}{5+2}=\dfrac{4}{7}.
