Bonjour,
Aₓ = x⁵ - x
1) Aₓ = x(x⁴ - 1)
Si x est pair, x⁴ est pair et donc (x⁴ - 1) est impair ⇒ x(x⁴ - 1) est pair
Si x est impair, (x⁴ - 1) est pair ⇒ x(x⁴ - 1) est pair
2) Aₓ = x(x⁴ - 1)
= x(x² - 1)(x² + 1)
= x(x - 1)(x + 1)(x² + 1)
Le produit de 3 nombres entiers consécutifs est divisible par 3.
Donc (x - 1)x(x + 1) est divisible par 3
⇒ Aₓ est divisible par 3
3)
x ≡ r (5)
avec r ∈ {0,1,2,3,4}
. si x ≡ 0 (5), x⁵ ≡ 0 (5) donc x⁵ - x ≡ 0 (5)
. si x ≡ 1 (5), x⁵ ≡ 1 (5) donc x⁵ - x ≡ 0 (5)
....
donc en une ligne :
quelque soit r, x ≡ r (5) ⇒ x⁵ ≡ r⁵ (5) ⇒ x⁵ - x ≡ r⁵ - r (5) ⇒ x⁵ - x ≡ 0 (5)
4) divisible par 2, 3 et 5 qui sont premiers entre eux
donc divisible par 2x3x5 = 30
