a)AB=AC =x x est compris entre 5 et 10
BC=y AH =h c'est la hauteur de ce triangle isocéle
on a bien entendu h² +(y/2)² = x² d'après le theoreme de Pythagore et le périmétre qui vaut 20 = 2x + y donc y= 20 -2 x et y/2= 10-x alors
h² = x² - (10-x)² = (x+10-x)(x-10+x)= 10(2x-10)
h =rac(10(2x-10))
l'aire
s(x)= y/2 *h = (10-x) * rac(10(2x-10))
le carré de s(x) est f(x)= (10-x)² 10(2x-10) sa dérivée est
f '(x)= -2(10-x)10(2x-10) + (10-x)²10*2 = 20(10-x)( -(2x-10) +10-x))
=20(10-x)(-3x + 20) 10-x positif et -3x+20 positif puis négatif
donc f(x) est croissante puis décroissante
f '(x) s'annule pour x =20/3 c'est lĂ que l'aire est maximale pour x=20/3
et pour y= 20-2x=20-40/3= 20/3 ce qui donne un triangle équilatéral
b)s(x)=10 donc f(x)=100
(10-x)² 10(2x-10) =100 donc
(10-x)² (2x-10) = 10
(10-x)²(x-5)= 5 peut se résoudre avec une calculatrice il y a trois solutions
x = 8,862 x = 5,219 x = 10,919 les deux premières conviennent
