Bonjour,
1)
a) P₁ = 1,05P₀, P₂ = 1,05P₁ = 1,05² x P₀ etc...
⇒ Pn = P₀ x (1,05)ⁿ
b) Pn = 2 x P₀
⇔ P₀ x (1,05)ⁿ = 2 x P₀
⇔ (1,05)ⁿ = 2
⇔ n x ln(1,05) = ln(2)
⇔ n = ln(2)/ln(1,05)
soit n = 14,2 donc la 15ème année
On voit que l'équation se simplifie et que la valeur de P₀ n'influence pas le résultat.
2) a) P₂ = 1,03 x 0,97 x P₀ = 0,9991 x P₀
b) P2n+2 = 1,03 x 0,97 x P2n = 0,9991 x P2n
P2n+2 = P2(n+1)
Donc P2(n+1) = 0,9991 x P2n
⇒ (P2n) est une suite géométrique de raison q = 0,9991 et de premier terme P₀
c) On en déduit : P2n = P₀ x (0,9991)ⁿ
Et P2n+1 = P2n x 1,03 = 1,03 x P₀ x (0,9991)ⁿ
d) P2n = P₀ x [(1 + i/100)(1 - i/100)]ⁿ
et P2n+1 = (1 + i/100) x P₀ x [(1 + i/100)ⁿ(1 - i/100)ⁿ]
soit P2n+1 = P₀ x (1 + i/100)ⁿ⁺¹ x (1 - i/100)ⁿ
e) Variations de (P2n) :
P2n = P₀ x [(1 + i/100)(1 - i/100)]ⁿ = P₀ x (1 - i²/10000)ⁿ
1 - i²/10000 < 1
Donc (P2n) est décroissante
Variations de P2n+1 :
P2n+1 = P₀ x (1 + i/100)x(1 + i/100)ⁿ x (1 - i/100)ⁿ
= Pn x (1 + i/100)
(P2n) est décroissante, donc (1 + i/100) x P2n est décroissante (car 1+i/100 > 0)
