Bonjour,
Pour résoudre ce genre d'exercice, il faut absolument que tu apprennes les différents tableaux que ton professeur t'a donné sur les limites usuelles par opération. Sans ça , ça va être difficile.
Ceci dit, passons à ton exercice.
Soit f(x) = x /e^x +1
1) l'énoncé te donne une clé que l'on va prendre x /e^x = x * 1/e^x
On sait que la limite de x en -infini sera - infini
la limite de e^x quand x tend vers - infini est 0 ( cela vient de l'ensemble de définition de la fonction exponentielle qui est strictement positive sur R)
et la limite de 1/ "0" est + infini .
on a donc une limite de forme - infini * + infini = - infini
donc f(x) tend vers -infini.
2) on va chercher la limite en + infini
On sait que x va tendre vers + infini .
e^x va tendre aussi vers + infini
on a donc f(x) = x / e^x +1
On sait aussi que dans un quotient , le terme le plus fort impose sa limite au quotient. or dans x / e^x c'est e^x le terme le plus fort.
Donc x / e^x va tendre vers 0 puisque même si X est de plus en plus grand , e^x sera toujours plus grand et que 1/ infini tend vers 0
donc lim x / e^x = 0
comme f(x) = x/e^x +1 alors f(x) tend vers 1 à + l'infini sans jamais l'atteindre.
On conclu donc que f(x) admet une asymptote horizontale d'équation y=1
