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Bonjour , je n'ai pas compris :
donne tout les multiples de 7 compris entre 20 et 40 !

et aussi ça ?

Tous les danseurs étaient en piste. Lorsqu'ils se regroupaient par 2, il en restait 1 tout seul. Lorsqu'ils se regroupaient par 4, il en restait 3. Lorsqu'ils se regroupaient par 5, il en restait 4. Combien y avait-il de danseurs ? (ils sont moins de 100) pouviez-vous m'aider ?

Sagot :

Geijutsu
Bonjour,

Exercice 1 :
2*7 = 14∉[20;40]
3*7 = 21∈[20;40]
4*7 = 28∈[20;40]
5*7 = 35∈[20;40]
6*7 = 42∉[20;40]
Donc les multiples de 7 compris entre 20 et 40 sont :
21
28
35

Exercice 2 :
Soit n un entier naturel, et n < 100
Soit k, k' et k" des entiers naturels tels que :
n = 2k+1
n = 4k'+3
n = 5k"+4
On sait qu'un multiple de 2 est forcément pair. Or n = 2k+1, donc n est forcément impair !
On sait que le chiffre des unités d'un nombre multiple de 5 est forcément 0 ou 5. Or n = 5k"+4, donc le chiffre des unités de n est 4 ou 9, mais on a démontré juste avant que n est impair, donc le chiffre des unités de n est forcément 9 !
Enfin, il suffit alors de procéder par disjonction de cas, en entrant toutes les valeurs de 4k'+3 possibles, tant que 4k'+3 est inférieur à 100 :
Pour k' = 0, 4k'+3 = 3
Pour k' = 1, 4k'+3 = 7
Pour k' = 2, 4k'+3 = 11
Pour k' = 3, 4k'+3 = 15
Pour k' = 4, 4k'+3 = 19
Pour k' = 5, 4k'+3 = 23
Pour k' = 6, 4k'+3 = 27
Pour k' = 7, 4k'+3 = 31
Pour k' = 8, 4k'+3 = 35
Pour k' = 9, 4k'+3 = 39
Stop ! On sait que 4*5 = 20, donc en posant k' = 4, alors 4k'+3+4*5p = 4(k'+5p)+3 = 19+20p (où p est un entier naturel)
Soit k' = 4
Pour p = 0, alors 4(k'+5p)+3 = 19∈[0;100]
Pour p = 1, alors 4(k'+5p)+3 = 39∈[0;100]
Pour p = 2, alors 4(k'+5p)+3 = 59∈[0;100]
Pour p = 3, alors 4(k'+5p)+3 = 79∈[0;100]
Pour p = 4, alors 4(k'+5p)+3 = 99∈[0;100]
Pour p = 5, alors 4(k'+5p)+3 = 119∉[0;100]
Donc les valeurs possibles de n sont :
19
39
59
79
99
Donc il y a 19 danseurs, ou 39 danseurs, ou 59 danseurs, ou 79 danseurs, ou 99 danseurs.
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