1) E est le milieu de [BD], tu peux donc appliquer la formule du cours
xE = (xB + xD) / 2 et yE = (yB + yD) / 2
xE = (5.5 + (-2.5)) / 2 = (5.5 - 2.5) / 2 = 3/2 (ou bien 1.5)
yE = (1 + 5) / 2 = 6/2 = 3
C est le symétrique de A par rapport à E donc E est le milieu de [AC]
On applique la même formule :
xE = (xA + xC) / 2 et yE = (yA + yC) / 2
On remplace par les valeurs et on résoud :
3/2 = (-1 + xC) / 2 donc 3 = -1 + xC donc xC = 3 + 1 = 4
3 = (-2 + yC) / 2 donc 6 = -2 + yC donc yC = 6 + 2 = 8
C(4;8)
2) Pour calculer BD, on applique la formule du cours :
[tex] BD = \sqrt{(x_B-x_D)^2 + (y_B - y_D)^2}
[/tex]
[tex]= \sqrt{(5.5-(-2.5))^2 + (1-5)^2} [/tex]
[tex]= \sqrt{(5.5+2.5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{8^2+16} = \sqrt{64+16} = \sqrt{80}[/tex]
Tu raisonnes pareil pour CA et tu obtiens [tex] \sqrt{125} [/tex]
3) Pour montrer que ton triangle est rectangle, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle AEB.
Il faut montrer que AB² = AE²+BE²
E est le milieu de [BD] donc BE = [tex] \sqrt{80} /2[/tex]
E est le mileu de [AC] donc AE = [tex] \sqrt{125} /2[/tex]
AE² + BE² = 80/4 + 125/4 = 205/4 = 51.25
Pour calculer la distance AB, on applique encore la formule et on trouve AB = [tex] \sqrt{51.25} [/tex] donc AB² = 51.25
On a bien AB² = AE² + BE² donc AEB est rectangle en E
4) Le quadrilatère a donc ses diagonales perpendiculaires, c'est donc un losange.
