Bonjour,
Ex 2) Partie A
1) g'(x) = -6x² - 6 = -6(x² + 1)
2) g'(x) < 0 sur R
x -∞ +∞
g'(x) -
g(x) décrois.
3) lim g(x) quand x→-∞ = lim (-2x³) = +∞
et lim g(x) quand x→+∞ = lim (-2x³) = -∞
et g est strictement décroissante sur R
⇒ Il existe une unique valeur de x tel que g(x) = 0.
Soit α cette valeur.
g(1) = 4 > 0 et g(2) = -16 < 0
⇒ 1 < α < 2
4) On trouve 1,28 < α < 1,29 à 0,01 près
5)
x -∞ α +∞
g(x) + 0 -
Partie B
1) f de la forme u/v donc f' = (u'v - uv')/v²
Soit f'(x) = [(12x - 6x²)(x² + 1) - (6x² - 2x³)(2x)]/(x² + 1)²
= [12x³ + 12x - 6x⁴ - 6x² - 12x³ + 4x⁴]/(x² + 1)²
= (-2x⁴ - 6x² + 12x)/(x² + 1)²
= x(-2x³ - 6x + 12)/(x² + 1)²
= xg(x)/(x² + 1)²
2)
x -∞ 0 α +∞
x - 0 + +
g(x) + + 0 -
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) décrois. croiss. décrois.
Exercice 5
1) 48x - x² = x(48 - x)
x -∞ 0 48 +∞
x - 0 + +
48-x + + 0 -
x(48-x) - 0 + 0 -
⇒ 48x - x² ≥ 0 sur [0;48] et donc f est définie sur cet intervalle
2)
La fonction g définie par g(x) = 48x - x² est définie et continue sur R.
La fonction h définie par h(x) = √x est définie et continue sur R⁺
Donc la fonction u = hog, u(x) = h[g(x)] = √(48x - x²) est définie et continue sur [0;48]
Enfin, la fonction v définie par v(x) = x est définie et continue sur R.
Donc la fonction f = v x u est définie et continue sur [0;48]
3) Dérivabilité en 0
[f(0+h) - f(0)]/h = [h√(48h - h²) - 0]/h = √(48h - h²)
lim quand h→0 √(48h - h²)
= lim quand h→0 √(48h(1 - h/48))
= lim quand h→0 √(48h) car h/48 → 0
⇒ si h→0⁺, lim√(48h) = 0⁺
et si h→0⁻, la limite n'existe pas
Donc f non dérivable en 0
4) Même démo en 48
lim f(x) quand x→48⁻ = -∞
f est non dérivable en x=48
5) f est le produit de v dérivable sur R et de u dérivable sur son ensemble de définition ouvert.
f n'est pas dérivable en 0 et en 48
⇒ f est donc dérivable sur ]0;48[
6) f'(x) = √(48x - x²) + x(48 - 2x)/2√(48x - x²)
formule valable si 48x - x² ≠ 0 et si f est dérivable donc sur ]0;48[
Exercice 6)
5) g(x) = -2x(3/(-2x) + 1)/√[x²(1 - 5/x + 2/x²)]
= -2x(3/(-2x) + 1)/|x|√(1 - 5/x + 2/x²)
⇒ quand x→- ∞, lim g(x) = lim (-2x/-x) = 2
et quand x →+∞, lim g(x) = lim (-2x/x) = -2
6) f(x) = (ax² + bx + 1)/(x - 1)
Quand x → 1⁻, (x - 1) → 0⁻
Et ax² + bx + 1 → a + b⁻ + 1
donc :
Si a + b + 1 > 0, lim f(x) quand x→1⁻ = -∞
Si a + b + 1 = 0, alors ax² + bx + 1 = ax² - (a+1)x + 1 = (x - 1)(ax - 1)
donc f(x) = (x - 1)(ax - 1)/(x - 1) = ax - 1
⇒ lim f(x) quand x→1⁻ = a - 1
Si a + b + 1 < 0, lim f(x) quand x→1⁻ = +∞
