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Theorst13
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Besoin d'aide pour un exercice sur les fonctions... Merci!Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, i, j ) On considère la courbe (C) d'équation y=racine de x et le point A(2;0)On veut déterminer le point de (C) qui est le plus proche de A.1) Soit M le point de (C) d'abscisse x avec x réel positif Exprimer AM en fonction de xOn définit ainsi sur [0;+infini[ une fonction f de la variable x2 soit la fonction définie sur [0;+infini[ par : f(x)= (x-3/2)²+7/4 a) quelle relation existe-t'il entre AM et f(x) b) Determiner le tableau de variation de la fonction f sur [0;+infini[ c) en déduire l'abscisse du point M pour laquelle la distance AM est minimale et préciser la valeur de ce minimum .Merci!

Sagot :

Scoladan
Bonjour,
1)

A(2;0)

M(x;√x) car M∈(C)

AM = √[(x - 2)² + (√x - 0)²] = √(x² - 4x + 4 + x) = √(x² - 3x + 4)

2) f(x) = (x - 3/2)² + 7/4

a) f(x) = x² - 3x + 9/4 + 7/4 = x² - 3x + 4

Donc AM = √[f(x)]

b) D'après la forme canonique de f(x) :

x        0                               3/2                         +∞
f(x)           décroissante     7/4    croissante

c) On en déduit que AM est minimale quand f(x) est minimale et donc pour x = 3/2.

On a alors AM = √[f(3/2)] = √(7/4) = √(7)/2
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