Bonjour,
1)
Df = R
Dg = [4;+∞[
Dfog = [4;+∞[
Dgof = R
2) fog(x) = f[g(x)] = [√(x -4)]² + 4 = x sur Dfog
gof(x) = √[(x² + 4) - 4] = |x| sur Dgof
Ex 2)
Df = ]-∞;-1]∪[1;+∞[
Dg = R / {0,1}
Dgof = ]-∞;-√2[∪]-√2;-1[∪]-1;1[∪]1;√2[∪]√2;+∞[
car il faut (√(x² - 1))² - √(x² - 1)) ≠ 0 et ≠ 1
⇔ √(x² - 1)[√(x² - 1) - 1] ≠ 0 et de 1
⇒ √(x² - 1) ≠ 0 et √(x² - 1) - 1 ≠ 0
soit x ≠ 1 et x ≠ - 1 et x ≠ √2 et x ≠ -√2
gof(x) = 1/[(√(x² - 1))² - √(x² - 1)] = 1/[x² - 1 - √(x² - 1)] sur Dgof
Dfog = ?
il faut (g(x))² - 1 ≥ 0 ET x ≠ 0 et x ≠ 1 :
[1/(x² - x)]² - 1 ≥ 0
⇔ [1/(x² - x) - 1][1/(x² - x) + 1] ≥ 0
⇔ (1 - (x² - x))(1 + (x² - x))/(x² - x)² ≥ 0
⇔ (-x² + x + 1)(x² - x + 1) ≥ 0
signe de -x² + x + 1 : Δ = 1 + 4 = 5
⇒ 2 racines : x = (-1 +/- √5)/-2 = (1 +/- √5)/2
signe de x² - x + 1 : Δ = 1 - 4 < 0
⇒ x² - x + 1 > 0 pour tout x ∈ R
signe du produit :
x -∞ (1 - √5)/2 (1 + √5)/2 +∞
produit - 0 + 0 -
⇒ Dfog = [(1-√5)/2 ; 0[ ∪ ]0;1[ ∪ ]1;(1+√5)/2]
fog(x) = f[g(x)]
= √[(1/(x² - x))² - 1]
= √[(1 - (x² - x)²)/(x² - x)²]
= √[1 - (x² - x)²]/(x² - x) sur Dfog
