Bonsoir,
D'après l'énoncé, pour tous entiers k et n,
n = 13k+5
(donc n est le dividende et k est le quotient de la division euclidienne en question)
a) Si l'on augmente le dividende de 1, on obtient :
n+1 = 13k+5+1 = 13k+6
6∈⟦6;13⟦ (cette notation mathématique signifie que 6 est un entier compris entre 0 inclus et 13 exclus)
Donc si l'on augmente le dividende de 1, le quotient ne change pas, et le reste augmente de 1.
b) Soit r le reste et b le diviseur
r étant un reste, alors r∈⟦0;b⟦.
Soit p un entier naturel non-nul. Donc tant que r+p∈⟦r+1;b⟦, alors on peut augmenter le dividende sans changer le quotient.
Ici, r = 5 et b = 13, d'où r+7 = 12∈⟦0;b⟦, mais r+8 = 13∉⟦0;b⟦
Donc on peut augmenter le dividende de 7 au maximum sans changer le quotient.
c) Pour diminuer le quotient de 1, il faut alors que r-p∈⟦0-b;b-b⟦, donc que r-p∈⟦-b;0⟦
Ici, r = 5 et b = 13, donc il faut que 5-p∈⟦-13;0⟦
Donc il faut que -p∈⟦-18;-5⟦
Donc il faut que p∈⟧5;18⟧
Donc il faut que p∈⟦6;18⟧
Donc pour diminuer le quotient de 1, il faut enlever entre 6 et 18 au dividende.
