bonjour.
-- exercice 1 --
1) la droite passant par A et B est décrite par l'équation y = px + q où p est la pente de cette droite.
comme elle passe par A et B, je peux écrire:
-1 = -6p +q (la droite passe par A) et 1 = 3p +q (la droite passe par B).
j'en déduis le calcul de p en écrivant (1+1) = 3p +6p, donc p = 2/9.
or q = 1 -3p, donc q = 1- 6/9 = 1/3.
la droite passant par A et B est décrite par l'équation y = 2x/9 + 1/3.
si C est aligné avec A et B, alors ses coordonnées respectent cette équation. il suffit donc de remplacer x par 15, et on a
y = 30/9 + 1/3 = 10/3 + 1/3 = 11/3 ce qui est différent de l'ordonnée de C qui est 4.
donc A B et C ne sont pas sur la même droite, donc ils ne sont pas alignés.
2) si A B et D sont alignés, c'est que D appartient à la droite passant par A et B.
je vérifie en calculant y = 2/9 * 15/2 + 1/3 (15/2 étant l'abscisse de D).
et j'obtiens y = 30/18 + 1/3 = (30+6)/18 = 36/18 = 2 qui est bien l'ordonnée de D.
donc D appartient à la droite qui passe par A et B, donc A B et D sont alignés.
-- exercice 2 --
1) la droite passant par E et F est décrite par y = px + q et je peux écrire
6 = -7p +q et 3 = 3p +q. donc 3 = -10p et finalement p = -10/3.
la droite passant par G et par H est décrite par y = rx + s où r représente la pente de cette droite. si r = p alors les droites auront la même pente, donc seront parallèles.
pour la droite passant par G et H, je peux écrire:
-1 = -8r +s et -5 = 4r +s, donc 4 = -12r et finalement r = -1/3.
donc r est différent de p, donc les droites (EF) et (GH) ne sont pas parallèles.
2) les droits (EF) et (GI) seront parallèles si leur pente est identique.
on sait que la droite (EF) est décrite par y = -10x/3 + q.
comme on veut que (EF) // (GI), la droite passant par G et I possède la même pente que celle passant par E et F, donc on a
-1 = -10*-8/3 +q' (la droite passe par G) et -5 = -10x/3 +q' (la droite passe par I).
en faisant la différence des deux égalités, j'obtiens 4 = 80/3 + 10x/3
donc 10x/3 = (12-80)/3 donc 10x = -68, donc x = -34/5 = -6,8.
on vérifie bien que
-5 = -6,8p +q' et -1 = -8p +q' permettent d'écrire 4 = (-8+6,8)p
donc 4 = -1,2p donc p = -4*10/12 = -10/3.
bonne journée.
