Bonjour,
1) Voir figure ci-joint
En rouge fin AD = 3/2 x AB et DN = DC
En rouge foncé : AN
En bleu fin : CE = -2/5 x CB
En bleu foncé : BP = CE
2) A(0;0) B(1;0) C(0;1)
donc AB(1:0) et AC(0;1)
⇒ AN = 3/2 AB + AC ⇒ N(3/2 ; 1)
3)a) AP = AB + BP
⇔ AP = AB - 2/5 x CB
⇔ AP = AB - 2/5(CA + AB)
⇔ AP = AB + 2/5 x AC - 2/5 x AB
⇔ AP = 3/5 x AB + 2/5 x AC
b) On en déduit P(3/5 ; 2/5)
4) AP est un vecteur de (AP) donc (AP) : -2/5 * x + 3/5 * y + c = 0
A(0;0) ∈ (AP) ⇒ 0 + 0 + c = 0 ⇒ c = 0
donc (AP) : -2x + 3y = 0 dans le repère (A; B, C) (en multipliant tout par 5 pour ne pas "traîner" des fractions)
N(3/2 ; 1) ∈ (AP) ?
-2 x 3/2 + 3 x 1 = -3 + 3 = 0
donc N ∈ (AP) ⇒ A, P, et N alignés
